Sách giải tích/Hàm số/Đồ thị hàm số/Hàm số Logarit/Ứng dụng

Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về tỉ lệ bất biến. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ ốc anh vũ đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về xoắn ốc logarit. Luật Benford về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến. Logarit cũng có liên hệ với tính chất tự đồng dạng. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau. Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. Thang đo logarit rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit Bản mẫu:Math tăng rất chậm khi Bản mẫu:Mvar ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như phương trình tên lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hay phương trình Fernst.

Một con ốc anh vũ thể hiện đường cong xoắn ốc logarit

Thang đo logarit

Một biểu đồ logarit thể hiện giá trị của một goldmark tính bằng papiermark trong cuộc siêu lạm phát tại Đức vào những năm 1920

Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác qua thang đo logarit. Chẳng hạn, decibel là đơn vị đo dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân của tỉ lệ – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệ công suất hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệ hiệu điện thế, và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện, để miêu tả độ lớn của âm trong âm học, và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trong quang học. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu mô tả lượng âm không cần thiết so với tín hiệu cũng được đo bằng decibel. Tương tự, tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương pháp nén ảnh thông qua logarit.

Độ lớn của một trận động đất được đo theo logarit thập phân của năng lượng do nó sinh ra qua thang độ lớn mô men hay thang độ Richter. Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần Bản mẫu:Math và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần Bản mẫu:Math so với một trận động đất 4,0 độ. Cấp sao biểu kiến là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit. Một ví dụ khác nữa là pH trong hóa học; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ion hydroni H₃O⁺ trong dung dịch. Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10⁻⁷ mol·L⁻¹, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3. Hiệu số bằng 4 tương đương với tỉ lệ hoạt độ của H₃O⁺ trong một chất lớn hơn chất còn lại Bản mẫu:Math lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10⁻³ mol·L⁻¹.

Đồ thị bán logarit (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, các hàm mũ dạng Bản mẫu:Math là đường thẳng với hệ số góc bằng với logarit của Bản mẫu:Mvar. Đồ thị logarit chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng Bản mẫu:Math là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũ Bản mẫu:Math. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu các quy tắc lũy thừa.

Tâm lý học

Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đến tri giác con người. Định luật Hick nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có. Định luật Fitts dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu. Trong tâm vật lý học, định luật Weber–Fechner nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích và giác quan, chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm. (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn như định luật lũy thừa của Stevens.)

Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.

Lý thuyết xác suất và thống kê

Ba hàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên và phân phối loga chuẩn của chúng. Tham số vị trí Bản mẫu:Math, vốn bằng 0 với cả ba hàm trên, là trung bình của logarit biến ngẫu nhiên, không phải là trung bình của biến đó.

Biểu đồ thể hiện tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên trong dữ liệu dân số của 237 quốc gia trên thế giới. Các chấm đen chỉ phân bố do luật Benford dự đoán.

Logarit được ứng dụng trong lý thuyết xác suất: luật số lớn cho rằng, với một đồng tiền hai mặt, khi số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất hiện mặt ngửa tiệm cận về một nửa. Sự biến động của tỉ lệ này được giải thích qua luật về logarit lặp.

Logarit cũng xuất hiện trong phân phối loga chuẩn. Khi logarit của một biến ngẫu nhiên có một phân phối chuẩn, biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn. Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.

Logarit được dùng trong phép hợp lý cực đại của các mô hình thống kê tham số. Với một mô hình như vậy, hàm khả năng phụ thuộc vào ít nhất một tham số cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến độc lập ngẫu nhiên.

Luật Benford mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiều bộ dữ liệu, chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó là Bản mẫu:Math (từ 1 đến 9) bằng Bản mẫu:Math bất kể đơn vị đo. Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.

Độ phức tạp tính toán

Phân tích thuật toán là một nhánh của khoa học máy tính nghiên cứu về hoạt động của thuật toán (chương trình máy tính dùng để giải quyết một vấn đề nhất định). Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán chia nhỏ một vấn đề thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình Bản mẫu:Math bước so sánh với Bản mẫu:Math là số phần tử của mảng. Tương tự, thuật toán sắp xếp trộn sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gian xấp xỉ tỉ lệ thuận với Bản mẫu:Math. Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới mô hình chi phí thống nhất tiêu chuẩn.

Một hàm số Bản mẫu:Math được gọi là hàm số tăng logarit nếu Bản mẫu:Math tỉ lệ thuận với logarit của Bản mẫu:Mvar. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.) Chẳng hạn, mọi số tự nhiên Bản mẫu:Math đều có thể được biểu diễn dưới dạng nhị phân sử dụng không quá Bản mẫu:Math bit. Nói cách khác, lượng bộ nhớ cần dùng để lưu trữ Bản mẫu:Math tăng theo logarit của Bản mẫu:Math.

Entropy và sự hỗn loạn

Một mô hình bàn bida. Hai hạt điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí trung tâm với hai góc sai khác nhau 1 độ, sau đó tách ra di chuyển hỗn loạn do sự phản xạ trên thành bàn.

Entropy là một phép đo về sự hỗn loạn của một hệ. Trong cơ học thống kê, entropy Bản mẫu:Math của một hệ vật lý được xác định là

$S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,$

Tổng này được lấy trên tất cả các trạng thái Bản mẫu:Math của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đó Bản mẫu:Math là xác suất để hệ nằm ở trạng thái Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là hằng số Boltzmann. Tương tự, entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong số Bản mẫu:Math thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng là Bản mẫu:Math bit.

Lũy thừa Lyapunov sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một hệ thống động lực. Chẳng hạn, khi một chất điểm di chuyển trên một bàn bida, chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy hỗn loạn một cách tất định, vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau. Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.

Phân dạng

Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại việc thay thế một tam giác đều bằng ba tam giác đều nhỏ hơn.

Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiều phân dạng. Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc tự đồng dạng: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể. Tam giác Sierpinski (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó, số chiều Hausdorff của cấu trúc này là Bản mẫu:Math. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việc đếm số hình vuông đơn vị để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.

Âm nhạc

Bốn quãng tám khác nhau trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.

Logarit có liên hệ đến cung và quãng trong âm nhạc. Trong hệ thống âm tự nhiên, tỉ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào quãng giữa hai tông nhạc, không phụ thuộc vào tần số hay cao độ của từng tông cụ thể. Chẳng hạn, nốt A có tần số là 440 Hz và nốt B♭ có tần số là 466 Hz. Quãng giữa nốt A và nốt B♭ là nửa cung, giống như quãng giữa nốt B♭ và nốt B (tần số 493 Hz), vì tỉ lệ tần số của hai quãng trên gần bằng nhau:

${\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1,059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.$

Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số Bản mẫu:Math của tỉ lệ tần số, trong khi logarit cơ số Bản mẫu:Math của nó đo quãng đó theo cent, bằng một phần trăm so với nửa cung.

Quãng (phát hai tông cùng lúc)	Tông 1/12 Bản mẫu:Âm thanh	Nửa cung Bản mẫu:Âm thanh	Quãng 5/4 Bản mẫu:Âm thanh	Quãng 3 trưởng Bản mẫu:Âm thanh	Quãng 3 cung Bản mẫu:Âm thanh	Quãng tám Bản mẫu:Âm thanh
Tỉ lệ tần số r	$2^{\frac {1}{72}}\approx 1,0097$	$2^{\frac {1}{12}}\approx 1,0595$	${\tfrac {5}{4}}=1,25$	${\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1,2599\end{aligned}}$	${\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1,4142\end{aligned}}$	$2^{\frac {12}{12}}=2$
Số nửa cung tương ứng $\log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r)$	${\tfrac {1}{6}}\,$	$1\,$	$\approx 3,8631\,$	$4\,$	$6\,$	$12\,$
Số cent tương ứng $\log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r)$	$16{\tfrac {2}{3}}\,$	$100\,$	$\approx 386,31\,$	$400\,$	$600\,$	$1200\,$

Lý thuyết số

Logarit tự nhiên có liên hệ gần gũi với việc đếm số nguyên tố (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ đề quan trọng trong lý thuyết số. Với mỗi số nguyên Bản mẫu:Mvar, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Bản mẫu:Mvar được ký hiệu là Bản mẫu:Math. Theo định lý số nguyên tố, giá trị gần đúng của Bản mẫu:Math được cho bởi công thức

${\frac {x}{\ln(x)}},$

trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math tiệm cận về 1 khi Bản mẫu:Mvar tiến dần ra vô hạn. Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 và Bản mẫu:Mvar là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của Bản mẫu:Mvar. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa của Bản mẫu:Math được cho bởi hàm tích phân logarit bù Bản mẫu:Math, được định nghĩa là

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.$

Giả thuyết Riemann, một trong những phỏng đoán toán học mở lâu đời nhất, có thể được phát biểu trên cơ sở so sánh Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Định lý Erdős–Kac mô tả số các thừa số nguyên tố khác nhau cũng liên quan đến logarit tự nhiên.

Logarit của Bản mẫu:Math giai thừa, Bản mẫu:Math, được cho bởi

$\ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).\,$

Biểu thức này được dùng để suy ra phép xấp xỉ Stirling, một phép tính gần đúng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math lớn.