Sách giải tích/Hàm số/Đồ thị hàm số/Hàm số Logarit

Định nghĩa

log_{a}b=c

khi có

a^{c}=b

Ví dụ

Ta có $log 2 16 = 4$ vì $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ . Logarit có thể là số âm:

log_{10}100=2

Đồ thị của Hàm số Logarit

Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục hoành tại x = 1 và đi qua các điểm (2, 1), (4, 2), và (8, 3), miêu tả rằng, chẳng hạn, log₂(8) = 3 và 2³ = 8. Khi x càng gần 0 thì đồ thị tiệm cận trục tung nhưng không giao với nó

Phép tóan Logarit

Tích, thương, lũy thừa và căn

	Công thức	Ví dụ
Tích	$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5$
Thương	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
Lũy thừa	$\log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
Căn	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5$

Đổi cơ số

Logarit $log b x$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian $k$ của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar theo công thức:

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,

Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và Bản mẫu:Mvar. Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,

Cho một số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của nó $log b x$ với Bản mẫu:Mvar chưa biết, thì Bản mẫu:Mvar được tính bằng

b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}},

bằng cách mũ hóa biểu thức $x=b^{\log _{b}x}$ lên số mũ $\;{\tfrac {1}{\log _{b}x}}.$

Đạo hàm và nguyên hàm

Đồ thị của hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại

x = 1,5

(màu đen)

Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng. $f (x) = Bản mẫu:Mvar x$ là một hàm số liên tục và khả vi, và $log b y$ cũng vậy. Thông thường, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của $f (x)$ bằng $ln(b) b x$ theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của $log b x$ được tính bằng

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}},

tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số Bản mẫu:Mvar tại điểm $(x, log b (x))$ bằng $1/(x ln(b))$ . Đặc biệt, đạo hàm của $ln(x)$ là $1/ x$ , nghĩa là nguyên hàm của $1/ x$ bằng $ln(x) + C$ . Đạo hàm với đối số hàm tổng quát $f (x)$ là

{\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.

Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của $f (x)$ . Việc tính $f' (x)$ bằng đạo hàm của $ln(f (x))$ được gọi là vi phân logarit. Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên $ln(x)$ là:

\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.

Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.

Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số

f (x) = 1/ x

(nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar).

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar bằng tích phân của $1/ x$ Bản mẫu:Mvar từ 1 đến Bản mẫu:Mvar:

\ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.

Nói cách khác, $ln(t)$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số $1/ x$ , từ $x = 1$ đến $x = t$ (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của $ln(x)$ là $1/ x$ . Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này. Chẳng hạn, ta có công thức tích $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ vì

\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).

Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số ( $w = Bản mẫu:Mvar / t$ ). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến Bản mẫu:Mvar và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số $f (x) = 1/ x$ . Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của $f (x)$ từ Bản mẫu:Mvar đến Bản mẫu:Mvar bằng tích phân từ 1 đến Bản mẫu:Mvar. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.

Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên

Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa $ln(t r) = r ln(t)$ :

\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).

Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số $w = Bản mẫu:Mvar 1/ r$ .

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},

được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi Bản mẫu:Mvar tiến đến vô hạn thì hiệu

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)

hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni $γ = 0,5772...$ . Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.

Ngoài ra, $ln(x)$ còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi $f (x) = Bản mẫu:Mvar - x$ và $a = 1$ , được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:

\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).

Xem thêm

Hàm số Logarit