Sách giải tích/Hàm số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

$y=2x+5$

Tính chất hàm số

Ký hiệu

Mọi hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}$ $f(r,\theta )$ . $Z\angle \theta ={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Giá trị

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Thí dụ

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số lũy thừa Power function	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function	$y(x)=ax^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}x^{0}$
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+Z(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị	$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lượng giác	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$ $sin\theta ={\frac {Y}{Z}}$ $sec\theta ={\frac {1}{X}}$ $csc\theta ={\frac {1}{Y}}$ $tan\theta ={\frac {Y}{X}}$ $cot\theta ={\frac {X}{Y}}$

Đồ thị hàm số

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị đồ thị trục $X,Y$ , đồ thị trục $R,\theta$

Đồ Thị trục xOy

Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau

Một ngang, gọi là trục hoành hay trục Ox ;

Một thẳng đứng, gọi là trục tung hay trục Oy

Cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0)

Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một

Tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y

Thí dụ

Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8

Đồ Thị Vòng Tròn

Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ

Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ

Chuyển Đổi Hệ Tọa Độ

Nếu có một điểm có tọa độ A(X,Y) tương đương với A(R,θ) trong Hệ số Thực thì

Giá trị của R và θ được tính từ giá trị của X và Y như sau

$R^{2}=X^{2}+Y^{2}$

$Tan\theta ={\frac {Y}{X}}$

Dưới dạng Hàm số lượng giác giá trị của X và Y được tính từ giá trị của R và θ như sau

$X(\theta )=RCos\theta$

$Y(\theta )=RSin\theta$

Đồ thị hàm số

Kẻ hình hàm số cho biết tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

$y=x$

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x	-2	-1	0	1	2
y = x	-2	-1	0	1	2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_{0}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}$

$f^{'}(0)=a_{1}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}$

$f^{''}(0)=2a_{2}$

$a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}$

$f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}$

$a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thế $a_{0},a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\sin(x)$	$f^{''}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$

• $f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=\cos(0)=1$
$f^{'}(x)=-\sin(x)$	$f^{'}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn even function	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ odd function	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo inverse function	$f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}$	$sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}$
Hàm số trong hàm số composite function	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số parametric function	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] recursive function
Hàm số chia/]] Rational function	$Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)$

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-x$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

v

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Tích phân

Tích phân xác định

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định

$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$

Phương trình

Định nghỉa

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

$f(x)=0$

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình $f(x)=0$

Thí dụ

$2x+5=0$

$2xy+5=z$

$x^{2}+4x-12=0$

Giải phương trình đại số

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình

Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình $2x+4=6$

$2x=6-4=2$

$x=2/2=1$

Giải phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+{\frac {b}{a}}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+{\frac {b}{a}}=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$ax^{2}+bx+c=0$	$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$ $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$. $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$. $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $ax^{n}+b=0$ $ax^{n}=-b$ v$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{o}=0$

Giải phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

Dạng tổng quát

$X^{2}+Y^{2}=0$

Giải phương trình

$X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY$

$Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

Dạng tổng quát

$X+jY=0$

Giải phương trình

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

Phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính có dạng tổng quát

$a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=A$

Giải hệ phương trình tuyến tính

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}$

$x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

${\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}$

${\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Ta có

$x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1$

$y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}$

Ma trận

Lối giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

${\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}$

Giải phương trình cho nghiệm số

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.

Giải phương trình bằng ma trận

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.$

Tìm định thức ma trận

Định thức của A

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

det(A)=ad-bc.

Định thức của X

$A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}$

det(X)=ed-bf.

Định thức của Y

$Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}$

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số

$x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}$.

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.