Sách đại số/Số đại số/Hằng số/Hằng số π

Hằng số π là một hằng số đại số có giá trị không đổi

$\pi =3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679....$

Giá trị hằng số π

Một số giá trị gần đúng của π bao gồm:

• Dạng thập phân: 100 chữ số thập phân đầu của π là

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679....

• Dạng phân số: Các giá trị xấp xỉ bao gồm (theo thứ tự độ chính xác tăng dần)

${\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {52163}{16604}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}}$ và ${\frac {245850922}{78256779}}$.

• Dạng căn

${\sqrt {9,869604401089357}},{\sqrt[{3}]{31,00627668}}$.

Cách tính

Vòng tròn

Tỷ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó là một hằng số π

$\pi ={\frac {C}{d}}$

Phân số liên tục

Hằng số π được biểu diễn trong bức tranh khảm bên ngoài tòa nhà khoa Toán ở Đại học Công nghệ Berlin.

Có thể được biểu diễn bởi một chuỗi vô hạn những phân số lồng vào nhau, được gọi là phân số liên tục:

$\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

Chặt cụt phân số liên tục này ở bất kì điểm nào sẽ tạo nên một phân số xấp xỉ với π; hai phân số như vậy (22/7 và 355/113) từng được sử dụng trong lịch sử để tính gần đúng hằng số này. Các số gần đúng được sinh ra theo cách này là được gọi là 'xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất'; nghĩa là, chúng gần với π hơn bất kì phân số nào khác có mẫu số bằng hoặc nhỏ hơn. Mặc dù phân số liên tục đơn giản cho π (ở trên) không thể hiện một nguyên tắc nào, các nhà toán học đã khám phá ra vài phân số liên tục tổng quát (tổng quát hóa phân số liên tục thường trong dạng chính tắc) có quy luật, chẳng hạn:

$\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$