Sách toán ứng dụng/Toán chuyển động sóng

Hoán chuyển Laplace and Fourier

Hoán chuyển tích phân	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
$f(t)$	$F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$	$F(j\omega )=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

Hoán chuyển đạo hàm	Hệ Laplace	Hệ Fourier
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$

Hoán chuyển đạo hàm	Hệ Laplace	Hệ Fourier
$\int ^{n}dt^{n}$	${\frac {1}{s^{n}}}$	${\frac {1}{j\omega ^{n}}}$

Giải phương trình đạo hàm

Giải phương trình đạo hàm bậc n

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

s	n	$f(t)=Ae^{st}$
$-\alpha =-{\frac {b}{a}}$	n = 1	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
$\pm j\omega =\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$	n ≥ 2	$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Giải phương trình đạo hàm bậc 2

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=Ae^{st}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ > $\beta$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ < $\beta$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\lambda -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\lambda }}$

Từ trên,

Khi $a=0$

$bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{'}(t)+{\frac {c}{b}}f(t)=0$

$sf(t)+\alpha f(t)=0$

$s=-\alpha =-{\frac {c}{b}}$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}$

Khi $b=0$

$f^{''}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+\beta f(t)=0$

$s^{2}=-\beta =-{\frac {c}{a}}$

$s={\sqrt {-\beta }}=\pm j{\sqrt {\beta }}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Khi $c=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)=0$

$s^{2}f(t)+s{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s(s+{\frac {b}{a}})=0$

$s=0$ → $f(t)=Ae^{st}=Ae^{0t}=A$

$s=-{\frac {b}{a}}$ → $f(t)=Ae^{st}=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}$

Phương trình đạo hàm và hàm số nghiệm phương trình

	Phương trình đạo hàm	Hàm số	Ý nghỉa
	$f^{'}(t)+\alpha f(t)=0$	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$	hàm số suy giảm
	$f^{''}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega ={\sqrt {\beta }}$	Hàm số sóng sin đều
	$f^{n}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{-j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega =n{\sqrt {\beta }}$ và n ≥ 2	Hàm số sóng sin đều
	$f^{''}(t)+2\alpha f^{'}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$ . Với $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$	Hàm số sóng sin giảm dần đều