Sách toán/Số đại số/Hằng số e

Hằng số e hay Hằng số Euler là một hằng số đại số có giá trị không đổi bằng 2.71828

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995....$

Cách tính giá trị hằng số e

$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .=1+1+0.5+0.166666$

Tính chất

Đạo hàm e

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

${\frac {d}{dx}}Log_{e}x={\frac {d}{dx}}Lnx={\frac {1}{x}}$

Lũy thừa e

Công thức Euler

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,.$

Từ đó, ta có

$e^{i\pi }=-1$

$e^{i\pi }+1=0$

Hoán chuyển tích phân

Hoán chuyển Laplace, Fourier

Hoán huyển	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
$f(t)$	$F(s)=\int f(t)e^{-st}dt$	$F(j\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$	$j\omega ^{n}f(t)$

Giải phương trình đạo hàm

$a{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)+bf(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=sin\omega t$

$\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$

n ≥ 2

n = 2 , xanh dương . n > 2 , đỏ