Hai tam giác bằng nhau khi có
3 cạnh bằng nhau (CCC)
3 góc bằng nhau (GGG)
2 cạnh bằng nhau và góc giửa 2 cạnh bằng nhau bằng nhau (GCG) Hai tam giác đồng dạng khi có
Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng.
Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. Các tính chất khác:
Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Trong lượng giác , định lý sin (hay định luật sin , công thức sin ) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng
Một tam giác với các thành phần trong định lý sin
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\!}
trong đó a , b , c là chiều dài các cạnh, và A , B , C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.\!}
Thí dụ 1 Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°
Theo định lý sin ta có
sin
A
20
=
sin
40
∘
24
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}
A
=
arcsin
(
20
sin
40
∘
24
)
≈
32.39
∘
.
{\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
Thí dụ 2 Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:
∠
A
=
∠
B
=
180
∘
−
∠
C
2
=
90
−
∠
C
2
{\displaystyle \angle A=\angle B={\frac {180^{\circ }-\angle C}{2}}=90-{\frac {\angle C}{2}}\!}
và
R
sin
A
=
c
sin
C
v
R
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle {R \over \sin A}={{\mbox{c}} \over \sin C}{\text{ v }}{R \over \sin B}={{\mbox{c}} \over \sin C}\,\!}
c
sin
A
sin
C
=
R
v
c
sin
B
sin
C
=
R
.
{\displaystyle {{\mbox{c}}\,\sin A \over \sin C}=R{\text{ v }}{{\mbox{c}}\,\sin B \over \sin C}=R.\!}
Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành định lý Pytago:
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng
90
o
{\displaystyle 90^{o}}
c - Cạnh huyền
a - Cạnh đối
b - Cạnh kề 3 điểm .
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
3 cạnh .
A
B
,
B
C
,
C
A
{\displaystyle AB,BC,CA}
3 góc .
∠
A
,
∠
B
,
∠
C
{\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C}
Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o
∠
C
=
90
o
{\displaystyle \angle C=90^{o}}
A
C
¯
⊥
C
B
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}\perp {\overline {CB}}}
a
+
b
+
c
{\displaystyle a+b+c}
b
a
2
{\displaystyle {\frac {ba}{2}}}
a
b
h
2
{\displaystyle ab{\frac {h}{2}}}
Định lý Pytago phát biểu rằng:
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Trong đó,
c là chiều dài của cạnh huyềna và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.
sửa
Hàm số góc lượng giác Tỉ lệ cạnh Đồ thị
Cosine
X
Z
=
cos
θ
{\displaystyle {\frac {X}{Z}}=\cos \theta }
Sine
Y
Z
=
sin
θ
{\displaystyle {\frac {Y}{Z}}=\sin \theta }
Cosine
1
X
=
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{X}}=\sec \theta }
Cosecant
1
Y
=
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{Y}}=\csc \theta }
Tangent
Y
X
=
tan
θ
{\displaystyle {\frac {Y}{X}}=\tan \theta }
Cotangent
X
Y
=
cot
θ
{\displaystyle {\frac {X}{Y}}=\cot \theta }
sửa
Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang
X
{\displaystyle X}
x
−
x
o
{\displaystyle x-x_{o}}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Z
cos
θ
{\displaystyle Z\cos \theta }
Độ dài cạnh dọc
Y
{\displaystyle Y}
y
−
y
o
{\displaystyle y-y_{o}}
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
Z
sin
θ
{\displaystyle Z\sin \theta }
Độ dóc
Z
=
Y
X
{\displaystyle Z={\frac {Y}{X}}}
y
−
y
o
x
−
x
o
{\displaystyle {\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}}
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
T
a
n
θ
{\displaystyle Tan\theta }
Độ nghiêng
θ
=
tan
−
1
Z
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}Z}
θ
=
tan
−
1
Y
X
{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}
Vector đương thẳng ngang
X
→
=
X
i
→
{\displaystyle {\vec {X}}=X{\vec {i}}}
(
x
−
x
o
)
i
→
{\displaystyle (x-x_{o}){\vec {i}}}
Z
cos
θ
i
→
{\displaystyle Z\cos \theta {\vec {i}}}
∇
⋅
Z
→
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {Z}}}
Vector đương thẳng dọc
Y
→
=
Y
i
→
{\displaystyle {\vec {Y}}=Y{\vec {i}}}
(
y
−
y
o
)
i
→
{\displaystyle (y-y_{o}){\vec {i}}}
Z
cos
θ
i
→
{\displaystyle Z\cos \theta {\vec {i}}}
∇
×
Z
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {Z}}}
Vector đương thẳng nghiêng
Z
→
=
X
→
+
Y
→
{\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}}
(
x
−
x
o
)
i
→
+
(
y
−
y
o
)
j
→
{\displaystyle (x-x_{o}){\vec {i}}+(y-y_{o}){\vec {j}}}
(
Z
cos
θ
)
i
→
+
(
Z
sin
θ
)
j
→
{\displaystyle (Z\cos \theta ){\vec {i}}+(Z\sin \theta ){\vec {j}}}
∇
⋅
Z
→
+
∇
×
Z
→
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {Z}}+\nabla \times {\vec {Z}}}
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z
Y
=
Z
X
{\displaystyle Y=ZX}
y
=
y
o
+
Z
(
x
−
x
o
)
{\displaystyle y=y_{o}+Z(x-x_{o})}
Z
∠
θ
=
X
2
+
Y
2
∠
T
a
n
−
1
Y
X
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}}
s
=
X
(
y
o
+
Y
2
)
=
X
(
y
o
+
Z
X
2
)
=
X
(
y
−
Z
X
2
)
=
y
2
−
y
o
2
2
Z
{\displaystyle s=X(y_{o}+{\frac {Y}{2}})=X(y_{o}+{\frac {ZX}{2}})=X(y-{\frac {ZX}{2}})={\frac {y^{2}-y_{o}^{2}}{2Z}}}
Tam giác vuông cân là một tam giác có 2 cạnh bằng nhau với một góc vuông nằm giữa 2 cạnh bằng nhau.
A
B
=
A
C
{\displaystyle AB=AC}
∠
B
=
∠
C
=
45
o
{\displaystyle \angle B=\angle C=45^{o}}
∠
A
=
90
o
{\displaystyle \angle A=90^{o}}
a
+
a
+
b
=
2
a
+
b
{\displaystyle a+a+b=2a+b}
b
2
×
h
{\displaystyle {\frac {b}{2}}\times h}
{\displaystyle }
Trong hình học, tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
Tam giác có 2 cạnh và 2 góc bằng nhau .
2 cạnh bằng nhau .
b
=
b
{\displaystyle b=b}
2 góc bằng nhau .
α
=
α
{\displaystyle \alpha =\alpha }
b
+
b
+
α
=
2
b
+
α
{\displaystyle b+b+\alpha =2b+\alpha }
b
2
×
h
{\displaystyle {\frac {b}{2}}\times h}
{\displaystyle }
Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.
3 cạnh bằng nhau .
A
B
=
B
C
=
C
A
{\displaystyle AB=BC=CA}
3 cạnh góc nhau .
∠
A
=
∠
B
=
∠
C
=
180
o
3
=
60
o
{\displaystyle \angle A=\angle B=\angle C={\frac {180^{o}}{3}}=60^{o}}
Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng
a
{\displaystyle a\,\!}
A
=
a
2
3
4
{\displaystyle A=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}
p
=
3
a
{\displaystyle p=3a\,\!}
Bán kính đường tròn ngoại tiếp
R
=
a
3
3
{\displaystyle R=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
Bán kính đường tròn nội tiếp
r
=
a
3
6
{\displaystyle r=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}}
Chiều cao của tam giác đều
h
=
a
3
2
{\displaystyle h=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
