Sách giải tích/Tích phân/Biến đổi Laplace

Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể tính ổn định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) (với mọi số thực t ≥ 0) là hàm số F(s), được định nghĩa như sau:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

Trong đó: $s$ là biến số phức cho bởi $s=\sigma +j\omega$ (với $s$ là miền tần số, có đơn vị là phần giây (second) $s^{-1}$

Giới hạn $0^{-}$chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi $t=0$, được dùng để lấy gốc hàm số $f(t)$ tại thời điểm $t=0$.

Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vô cực.

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds$

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).

Tính chất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.

• f(t) = 0, với mọi t < 0.
• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một.
• Khi $t\to +\infty$ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho $\left|f(t)\right|\leq Me^{st},\forall t>0$ Khi đó s_o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm e^st để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).

Tính chất của biến đổi Laplace

• Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{G(s)\right\}$

• Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:

TÍNH CHẤT	MIỀN THỜI GIAN	MIỀN TẦN SỐ
Tuyến tính	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$
Đạo hàm trong miền tần số	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
Đạo hàm bậc n trong miền tần số	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$
Đạo hàm trong miền thời gian	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$
Đạo hàm bậc 2	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\$
Tổng quát	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\$
Tích phân trong miền tần số	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
Tích phân trong miền thời gian	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$
Đồng dạng	$f(at)\$	${1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)$
Biến đổi trong miền tần số	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Biến đổi trong miền thời gian	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$
Tích chập	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
Hàm tuần hoàn	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$

• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

$~~=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }-\int _{0^{-}}^{+\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)dt$ (Từng phần)

$~~=\left[-{\frac {f(0)}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),$

Trong trường hợp 2 bên, ta có

${\mathcal {L}}\left\{{df \over dt}\right\}=s\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.$

Liên hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay $s=2\pi fi$

${\begin{array}{rcl}F(\omega )&=&{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&=&{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{array}}$

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$, điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi Fourier.

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).

Biến đổi Mellin

Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin

$G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta ){\frac {d\theta }{\theta }}$

Ta đặt θ = e^-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.

Biến đổi Z

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế

$z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\$, với $T=1/f_{s}\$ là chu kỳ (đơn vị là giây), và $f_{s}\$ là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$ là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac).

và

$x_{q}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$ $=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)$

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn $x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)\$ là biểu diễn sự rời rạc của x(t).

Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x_q(t) là

$X_{q}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt$

$\ =\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt$

$\ =\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt$

$\ =\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}.$

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].

$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$ (thay $z\leftarrow e^{sT}\$)

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử

$X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.$

Biến đổi Borel

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.

Bảng các biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

• Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

• Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).

• Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

STT	Hàm	Hàm gốc (miền t) $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Hàm ảnh (miền s) $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Miền hội tụ
1	trễ lý tưởng	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	xung đơn vị	$\delta (t)\$	$1\$	mọi s
2	trễ mũ n với dịch chuyển tần số	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a	mũ n (cho số nguyên n)	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.1	mũ q (cho số thực q)	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.2	bậc thang đơn vị	$u(t)\$	${1 \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2b	bậc thang đơn vị có trễ	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2c	dốc	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2d	mũ n với dịch chuyển tần số	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,$
2d.1	suy giảm hàm mũ	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \$
3	tiệm cận hàm mũ	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
4	sine	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
5	cosine	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
6	hyperbolic sine	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
7	hyperbolic cosine	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
8	hàm sine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
9	hàm cosine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
10	căn bậc n	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
11	logarit tự nhiên	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
12	hàm Bessel of the first kind, of order n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
13	hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,$
14	hàm Bessel loại hai, bậc 0	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	$-{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
15	hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 0	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	hàm sai số	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
chú thích: $u(t)\,$ là hàm bậc thang Heaviside. $\delta (t)\,$ là hàm delta Dirac. $\Gamma (z)\,$ là hàm Gamma. $\gamma \,$ là hằng số Euler-Mascheroni. $t\,$, đặc trưng cho thời gian (số thực). $s\,$ là tần số góc (số phức angular frequency và Re(s) là phần thực của s). $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, và $\omega \,$ là các số thực. $n\,$, là số mũ nguyên.

Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s

Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

$V_{R}(s)=R.I(s)$

$V_{L}(s)=s.L.I(s)-L.I_{o}$

$V_{C}(s)={\frac {1}{s.C}}I(s)+{\frac {V_{o}}{s}}$

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.

Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$(1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s)

$\lambda$: hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ (1) ta có

${\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0$

Thực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình

$\left(s{\tilde {N}}(s)-N_{o}\right)+\lambda {\tilde {N}}(s)\ =\ 0$

Với ${\tilde {N}}(s)={\mathcal {L}}\{N(t)\}$

$N_{o}\ =\ N(0).$

Giải phương trình ta có

${\tilde {N}}(s)={N_{o} \over s+\lambda }.$

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t

$N(t)\ ={\mathcal {L}}^{-1}\{{\tilde {N}}(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {N_{o}}{s+\lambda }}\right\}$

Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)

Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

$i_{R}(t)={\frac {V_{R}(t)}{R}}$

$i_{C}(t)=C.{\frac {dV_{C}(t)}{dt}}$

$V_{L}(t)=L.{\frac {di_{L}(t)}{dt}}$

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

$V_{R}(s)=R.I)(s)$

$V_{L}(s)=s.L.I(s)-L.I_{o}$

$V_{C}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)+{\frac {V_{o}}{s}}$

Với $I(s)={\mathcal {L}}{i(t)}$, $V(s)={\mathcal {L}}{v(t)}$

$I_{o}=i(0)$: dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L

$V_{o}=V_{C}(0)$: điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

$Z(s)={V(s) \over I(s)}{\bigg |}_{V_{o}=0}.$

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

$Z_{R}(s)=R$

$Z_{L}(s)=s.L$

$Z_{C}(s)={\frac {1}{sC}}$

Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

$h(t)=Ae^{-\alpha t}\cos(\omega _{d}t-\phi _{d})$ (1)

$\omega _{d}t-\phi _{d}\geq 0$

$0\leq \phi _{d}\leq 2\pi$: sự trễ pha

Ta biến đổi (1)

$h(t)=Ae^{-\alpha t}\cos \left[\omega _{d}(t-t_{d})\right]\cdot u(t-t_{d})$

Với $t_{d}={\phi _{d} \over \omega _{d}}$: thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước Heaviside.

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

$H(s)\ =\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}=Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s+\alpha )^{2}+\omega _{d}^{2}}$

$=\ Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s^{2}+2\alpha s+\alpha ^{2})+\omega _{d}^{2}}$

$=\ Ae^{-st_{d}}{(s+\alpha ) \over (s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2})}$

với $\omega _{0}={\sqrt {\alpha ^{2}+\omega _{d}^{2}}}$ là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}$

$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}$: biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần

$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over (s+\alpha )}+{R \over (s+\beta )}$

P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức

${\frac {s+\alpha }{s+\beta }}={\frac {P(s+\beta )+R(s+\alpha )}{(s+\alpha )(s+\beta )}}$

Từ đây suy ra

$P=\left.{1 \over (s+\beta )}\right|_{s=-\alpha }={1 \over (\beta -\alpha )}$

và

$R=\left.{1 \over (s+\alpha )}\right|_{s=-\beta }={1 \over (\alpha -\beta )}={-1 \over (\beta -\alpha )}=-P$

Thay vào H(s) ta tìm được

$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over (s+\alpha )}-{1 \over (s+\beta )}\right)$

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right)$

Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

Hàm thời gian	Biến đổi Laplace
$e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}\right]u(t)$	${\frac {s+\beta }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace $X(s)={\frac {s+\beta }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

$X(s)={\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\beta -\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

$x(t)=e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+{\beta -\alpha \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}$

$=e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right)\left({\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right)\right\}$

$=e^{-\alpha t}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}\right]$

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được $x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}u(t)+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}u(t)\right]$

$x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}\right]u(t)$

Sự trễ pha

Hàm thời gian	Biến đổi Laplace
$\sin(\omega t+\phi )$	${\frac {s\sin \phi +\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos {(\omega t+\phi )}$	${\frac {s\cos \phi -\omega \sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

$X(s)={\frac {s\sin \phi +\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$

Suy ra

$X(s)={\frac {s\sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$

$\,\,\,\,\,\,=(\sin \phi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+(\cos \phi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)$

Thực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

$x(t)\,\!$	${}=(\sin \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+(\cos \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}$
	${}=(\sin \phi )(\cos \omega t)+(\sin \omega t)(cos\phi ).\,\!$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác (trigonometric identity) $a\sin \omega t+b\cos \omega t={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(\omega t+\arctan(b/a)\right)$

Ta suy ra

$x(t)\,\!$	${}={\sqrt {\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi }}\cdot \sin \left(\omega t+\arctan \left({\frac {\sin \phi }{\cos \phi }}\right)\right)$
	${}=\sin(\omega t+\phi ).\,\!$

Tương tự ta cũng nhận được

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \phi -\omega \sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\phi )}$