Sách giải tích/Hàm số/Loại hàm số/Hàm số lũy thừa

Lũy thừa (từ Hán-Việt: Bản mẫu:Linktext nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán toán học, được viết dưới dạng

a^{n}=\underbrace {a\times \dots \times a} _{n\,{\textrm {}}}.

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó

: $a^{n}$ được gọi là "lũy thừa bậc n của a", "a lũy thừa n", hoặc hầu hết ngắn gọn là "a mũ n"
$a^{2}$ còn được gọi là "a bình phương" hoặc "bình phương của a"
$a^{3}$ còn được gọi là "a lập phương" hoặc "lập phương của a"

Tính chất Lũy Thừa sửa

Tính chất cơ bản sửa

1) aⁿ = a $\times$ a $\times$ a $\times$ ... $\times$ a

(n thừa số a)

2) $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}$

3) 0ⁿ = 0 (n > 0)

4) 1ⁿ = 1

5) a⁰ = 1 ( $a\neq 0$ )

6) a¹ = a

7) $a^{-1}={\frac {1}{a}}$

Tính chất thường găp sửa

1) a^{m + n} = a^m $\times$ aⁿ

2) $a^{m-n}={a^{m}}:{a^{n}}$ với mọi a ≠ 0

3) $a^{m\cdot n}=(a^{m})^{n}$

4) $a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}$

5) $(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$

6) $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

7) $a^{\frac {b}{c}}=\left(a^{b}\right)^{1/c}={\sqrt[{c}]{a^{b}}}$

8) $a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,$

9) $e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x$

Hàm số lũy thừa sửa

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng

y=x^{\alpha }

với

\alpha \in \mathbb {R}

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

nếu $\alpha$ là số nguyên dương thì tập xác định là $D=\mathbb {R}$
nếu $\alpha =0$ hoặc $\alpha$ là số nguyên âm thì tập xác định là $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$
nếu $\alpha$ không phải là số nguyên thì tập xác định là $D=(0;+\infty )$

Đạo hàm sửa

Hàm số

y=f(x)=x^{\alpha }

có đạo hàm tại mọi x > 0 và

y'=\alpha x^{\alpha -1}

là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Xét hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0:

Với $\alpha >0$ , hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$
Với $\alpha <0$ , hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$

Đồ thị sửa

Đồ thị hàm số $y=x^{\alpha }$ trên x>0 có tính chất sau:

Luôn đi qua điểm I(1;1)
Nếu $\alpha <0$ , đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ $\alpha$

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^{n}$ với $n\in \mathbb {Z}$ có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n: