Sách giải tích/Hàm số/Hàm số Lô ga rít

Trong toán học, logarit là ph;p toán nghịch của phep toán lũy thừa 10 . Thí dụ

log_{10}100=2

vì

10^{2}=100

Công thức tổng quát của Log

log_{a}b=c

nếu có

a^{c}=b

Toán logarit

Tích, thương, lũy thừa và căn

Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc Bản mẫu:Mvar là logarit của số đó chia cho Bản mẫu:Mvar. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.

	Công thức	Ví dụ
Tích	$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5$
Thương	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
Lũy thừa	$\log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
Căn	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5$

Đổi cơ số

Logarit $log b x$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian $k$ của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar theo công thức:

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,

Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và Bản mẫu:Mvar.^[1] Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,

Cho một số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của nó $log b x$ với Bản mẫu:Mvar chưa biết, thì Bản mẫu:Mvar được tính bằng

b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}},

bằng cách mũ hóa biểu thức $x=b^{\log _{b}x}$ lên số mũ $\;{\tfrac {1}{\log _{b}x}}.$

Các cơ số đặc biệt

Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, Bản mẫu:Mvar và 10

Trong các giá trị của cơ số Bản mẫu:Mvar, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm $b = 10$ , $b = e$ (hằng số vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828) và $b = 2$ . Trong giải tích toán học, logarit cơ số Bản mẫu:Mvar là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong hệ thập phân:^[2]

\log _{10}(10x)=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\

Do đó, $log 10 x$ có liên hệ với số chữ số của một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $log 10 x$ .^[3] Chẳng hạn, $log 101430$ gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số 2 thường được dùng trong lý thuyết thông tin, có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là nat và bit.^[4] Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong khoa học máy tính (hệ nhị phân); trong lý thuyết âm nhạc (quãng tám, đơn vị cent) và trong nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.^[5]

Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết $log x$ thay vì $log b x$ khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu $b log x$ cũng tồn tại.^[6] Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).^[7]

Cơ số Bản mẫu:Mvar	Tên gọi của log_bx	Ký hiệu ISO	Các ký hiệu khác	Sử dụng trong
2	logarit nhị phân	$lb Bản mẫu:Mvar$ ^[8]	$ld Bản mẫu:Mvar$ ,^[9] $log Bản mẫu:Mvar$ ,^[10] $lg Bản mẫu:Mvar$ ,^[11] $log 2 x$	khoa học máy tính, lý thuyết thông tin, lý thuyết âm nhạc, nhiếp ảnh
Bản mẫu:Mvar	logarit tự nhiên	$ln Bản mẫu:Mvar$ ^{[nb 1]}	$log Bản mẫu:Mvar$ (trong toán học^[15] và nhiều ngôn ngữ lập trình^{[nb 2]})	toán học, vật lý, hóa học, thống kê, kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật
10	logarit thập phân	$lg Bản mẫu:Mvar$	$log Bản mẫu:Mvar$ ,^[16] $log 10 x$ (trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học)	nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật (xem decibel và mục Ứng dụng), bảng logarit, máy tính bỏ túi, phổ học

Tính chất trong giải tích

Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm hàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.^[17] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar từ bất kỳ số thực Bản mẫu:Mvar nào với Bản mẫu:Mvar là cơ số được viết là $f(x)=b^{x}.\,$

Hàm số logarit

Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình

b^{x}=y\,

có một nghiệm Bản mẫu:Mvar duy nhất với Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là số dương và Bản mẫu:Mvar khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp.^[18] Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm $f (x) = Bản mẫu:Mvar x$ . Vì Bản mẫu:Mvar có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số $y > 0$ đều nằm giữa $f (x 0)$ và $f (x 1)$ với $x 0$ và $x 1$ thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình $f (x) = Bản mẫu:Mvar$ có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số Bản mẫu:Mvar là hàm số tăng nếu $b > 1$ và là hàm số giảm nếu $0 < Bản mẫu:Mvar < 1$ .^[19]

Nghiệm Bản mẫu:Mvar đó chính là logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, $log b y$ . Hàm số gán cho Bản mẫu:Mvar giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit $y = log b x$ xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn $f (b) = 1$ và $f (uv) = f (u) + f (v)$ .^[20]

Hàm ngược

Đồ thị của hàm logarit

log b (x)

(màu xanh) đối xứng với đồ thị của hàm mũ

b x

(màu đỏ) theo đường thẳng

x = Bản mẫu:Mvar

.

Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số Bản mẫu:Mvar bất kỳ,

\log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}b=x.

Lần lượt lấy lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar rồi lấy logarit cơ số Bản mẫu:Mvar, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Ngược lại, với một số dương Bản mẫu:Mvar bất kỳ, biểu thức

b^{\log _{b}y}=y

cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số Bản mẫu:Mvar là hàm ngược của $f (x) = Bản mẫu:Mvar x$ .^[21]

Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc của nó. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng Bản mẫu:Mvar = Bản mẫu:Mvar như hình bên phải: một điểm $(t, u = Bản mẫu:Mvar t)$ trong đồ thị của $f (x)$ tương ứng với điểm $(u, t = log b u)$ trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, $log b (x)$ phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu Bản mẫu:Mvar tăng đến vô hạn, với Bản mẫu:Mvar lớn hơn 1. Trong trường hợp này, $log b (x)$ là hàm số tăng. Khi $b < 1$ thì ngược lại, $log b (x)$ dần về âm vô hạn. Khi Bản mẫu:Mvar dần về 0 thì giới hạn của $log b x$ là âm vô hạn với $b > 1$ và là dương vô hạn với $b < 1$ .

Đạo hàm và nguyên hàm

Đồ thị của hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại

x = 1,5

(màu đen)

Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.^[18] $f (x) = Bản mẫu:Mvar x$ là một hàm số liên tục và khả vi, và $log b y$ cũng vậy. Thông thường, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của $f (x)$ bằng $ln(b) b x$ theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của $log b x$ được tính bằng

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}},

tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số Bản mẫu:Mvar tại điểm $(x, log b (x))$ bằng $1/(x ln(b))$ .^[19]^[22] Đặc biệt, đạo hàm của $ln(x)$ là $1/ x$ , nghĩa là nguyên hàm của $1/ x$ bằng $ln(x) + C$ . Đạo hàm với đối số hàm tổng quát $f (x)$ là

{\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.

Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của $f (x)$ . Việc tính $f' (x)$ bằng đạo hàm của $ln(f (x))$ được gọi là vi phân logarit.^[23] Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên $ln(x)$ là:^[24]

\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.

Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.^[25]

Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số

f (x) = 1/ x

(nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar).

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar bằng tích phân của $1/ x$ Bản mẫu:Mvar từ 1 đến Bản mẫu:Mvar:

\ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.

Nói cách khác, $ln(t)$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số $1/ x$ , từ $x = 1$ đến $x = t$ (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của $ln(x)$ là $1/ x$ . Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.^[26] Chẳng hạn, ta có công thức tích $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ vì

\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).

Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số ( $w = Bản mẫu:Mvar / t$ ). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến Bản mẫu:Mvar và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số $f (x) = 1/ x$ . Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của $f (x)$ từ Bản mẫu:Mvar đến Bản mẫu:Mvar bằng tích phân từ 1 đến Bản mẫu:Mvar. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.

Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên

Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa $ln(t r) = r ln(t)$ :

\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).

Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số $w = Bản mẫu:Mvar 1/ r$ .

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},

được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi Bản mẫu:Mvar tiến đến vô hạn thì hiệu

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)

hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni $γ = 0,5772...$ . Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.

Ngoài ra, $ln(x)$ còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi $f (x) = Bản mẫu:Mvar - x$ và $a = 1$ , được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:

\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).

Tính siêu việt

Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.^[27] $π$ và e là hai số như vậy, còn ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ không phải là số siêu việt. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.

▲ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, tr. 21
▲ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 {{citation}}: Invalid |ref=harv (help), chương 17, tr. 275
▲ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, tr. 20
▲ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), [[[:Bản mẫu:Google books]] Information Theory], Cambridge University Press, p. 3, ISBN 978-0-521-46760-5 {{citation}}: Check |url= value (help)
▲ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), [[[:Bản mẫu:Google books]] The Manual of Photography], Taylor & Francis, p. 228, ISBN 978-0-240-52037-7 {{citation}}: Check |url= value (help)
▲ Embacher, Franz; Oberhuemer, Petra, Mathematisches Lexikon (in Tiếng Đức), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, retrieved ngày 17 tháng 6 năm 2020 {{citation}}: Check date values in: |access-date= (help)
▲ "Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology" (PDF), International Standard ISO 80000-2 (1st ed.), ngày 1 tháng 12 năm 2009, Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr. 18 {{citation}}: Check date values in: |date= (help).
▲ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
▲ Bản mẫu:Citation
▲ Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, p. 152, ISBN 978-1-118-62333-6, In the following, and unless otherwise stated, the notation $log x$ always stands for the logarithm to the base $2$ of Bản mẫu:Mvar.
▲ Xem chú thích 1 trong Bản mẫu:Citation
▲ Halmos, Paul (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
▲ Stringham, Irving (1893), [[[:Bản mẫu:Google books]] Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis], The Berkeley Press, p. xiii {{citation}}: Check |url= value (help)
▲ Freedman, Roy S. (2006), [[[:Bản mẫu:Google books]] Introduction to Financial Technology], Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8 {{citation}}: Check |url= value (help)
▲ Xem Định lý 3.29 trong Bản mẫu:Citation
▲ Bản mẫu:Citation
▲ Bản mẫu:Citation, hoặc xem thêm chú thích trong bài hàm số
▲ ^18,0 ^18,1 Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913 {{citation}}: Invalid |ref=harv (help), chương III.3
▲ ^19,0 ^19,1 Bản mẫu:Harvnb
▲ Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, vol. 1, New York, London: Academic Press, p. 84
▲ Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, mục 1.6
▲ “Calculation of d/dx(Log(b,x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research.
▲ Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0, tr. 386
▲ “Calculation of Integrate(ln(x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research.
▲ Bản mẫu:Harvnb
▲ Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558, chương III.6
▲ Nomizu, Katsumi (1996), [[[:Bản mẫu:Google books]] Selected papers on number theory and algebraic geometry], vol. 172, Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2 {{citation}}: Check |url= value (help)

Chú thích có lỗi Đã tìm thấy thẻ <ref> với tên nhóm “nb”, nhưng không tìm thấy thẻ tương ứng <references group="nb"/> tương ứng; $2

[1] ▲ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, tr. 21

[2] ▲ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 {{citation}}: Invalid |ref=harv (help), chương 17, tr. 275

[3] ▲ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, tr. 20

[4] ▲ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), [[[:Bản mẫu:Google books]] Information Theory], Cambridge University Press, p. 3, ISBN 978-0-521-46760-5 {{citation}}: Check |url= value (help)

[5] ▲ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), [[[:Bản mẫu:Google books]] The Manual of Photography], Taylor & Francis, p. 228, ISBN 978-0-240-52037-7 {{citation}}: Check |url= value (help)

[6] ▲ Embacher, Franz; Oberhuemer, Petra, Mathematisches Lexikon (in Tiếng Đức), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, retrieved ngày 17 tháng 6 năm 2020 {{citation}}: Check date values in: |access-date= (help)

[7] ▲ "Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology" (PDF), International Standard ISO 80000-2 (1st ed.), ngày 1 tháng 12 năm 2009, Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr. 18 {{citation}}: Check date values in: |date= (help).

[gullberg-8] ▲ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9

[Bauer_2009-9] ▲ Bản mẫu:Citation

[10] ▲ Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, p. 152, ISBN 978-1-118-62333-6, In the following, and unless otherwise stated, the notation $log x$ always stands for the logarithm to the base $2$ of Bản mẫu:Mvar.

[11] ▲ Xem chú thích 1 trong Bản mẫu:Citation

[12] ▲ Halmos, Paul (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4

[13] ▲ Stringham, Irving (1893), [[[:Bản mẫu:Google books]] Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis], The Berkeley Press, p. xiii {{citation}}: Check |url= value (help)

[14] ▲ Freedman, Roy S. (2006), [[[:Bản mẫu:Google books]] Introduction to Financial Technology], Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8 {{citation}}: Check |url= value (help)

[16] ▲ Xem Định lý 3.29 trong Bản mẫu:Citation

[18] ▲ Bản mẫu:Citation

[19] ▲ Bản mẫu:Citation, hoặc xem thêm chú thích trong bài hàm số

[LangIII.3-20] ▲ ^18,0 ^18,1 Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913 {{citation}}: Invalid |ref=harv (help), chương III.3

[LangIV.2-21] ▲ ^19,0 ^19,1 Bản mẫu:Harvnb

[22] ▲ Dieudonné, Jean (1969), Foundations of Modern Analysis, vol. 1, New York, London: Academic Press, p. 84

[23] ▲ Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, mục 1.6

[24] ▲ “Calculation of d/dx(Log(b,x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research.

[25] ▲ Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0, tr. 386

[26] ▲ “Calculation of Integrate(ln(x))”. Wolfram Alpha. Wolfram Research.

[27] ▲ Bản mẫu:Harvnb

[28] ▲ Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558, chương III.6

[29] ▲ Nomizu, Katsumi (1996), [[[:Bản mẫu:Google books]] Selected papers on number theory and algebraic geometry], vol. 172, Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2 {{citation}}: Check |url= value (help)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[nb 1]

[15]

[nb 2]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]