Sách giải tích/Đạo hàm/Phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc hai

Phương trình sóng sin đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình đạo hàm

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2

Phương trình sóng sin không đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình đạo hàm

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(x)=Ae^{sx}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ < $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ > $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

Phương trình đạo hàm bậc nhứt

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s=-{\frac {b}{a}}$

$f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$