Sách giải tích/Đạo hàm

Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - x_o càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)

Tính chất

Ký hiệu

Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau

Ký hiệu Chuẩn

${\frac {d}{dx}}f(x)$ .

Ký hiệu Leibitz

$f^{'}(x)$

Phép toán

Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Với

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-(x)$

Biến số hàm số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}$

Tổng biến số hàm số

$\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Giới hạn tổng biến số hàm số

$\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Đạo hàm hàm số

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Thí dụ

Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của vận tốc theo thời gian v(t) . Gia tốc chuyển động được tính như ở bên dưới

$a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)$

$v=v(t)$	$a={\frac {d}{dt}}v(t)$
$v=v$	$a={\frac {d}{dt}}v=0$
$v=t$	$a={\frac {d}{dt}}t=1$
$v=at$	$a={\frac {d}{dt}}at=a$
$v=at+v_{o}$	$a={\frac {d}{dt}}(at+v_{o})=a$

Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của đường dài theo thời gian s(t) . Vận tốc chuyển động được tính như ở bên dưới

$s=s(t)$

$v={\frac {d}{dt}}s(t)$

$a={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Công thức toán đạo hàm

Hàm số , f(x)	Đạo hàm hàm số f'(x)	Giá trị
Đạo hàm hằng số	${\frac {d}{dx}}c$	$0$
Đạo hàm tích hằng số với biến số	${\frac {d}{dx}}cx$	$c$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}cx^{n}$	$cnx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}x^{n}$	$nx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa e	${\frac {d}{dx}}e^{x}$	${\frac {d}{dx}}e^{x}$
Đạo hàm lũy thừa n	${\frac {d}{dx}}n^{x}$	${\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn$
Đạo hàm Ln	${\frac {d}{dx}}Lnx$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}$
	$\cos x$	$-\sin x$
	$\sin x$	$\cos x$
	$\tan x$	$\sec ^{2}x$
	$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
	$\sec x$	$\sec x\tan x$
	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
	$\cos ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sin ^{-1}x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\tan ^{-1}x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
	$\cot ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sec ^{-1}x$	${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\csc ^{-1}x$	$-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\sinh x$	$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
	$\cosh x$	$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
	$\tanh x$	${\operatorname {sech} ^{2}\,x}$
	$\operatorname {sech} \,x$	$-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$
	$\operatorname {csch} \,x$	$-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$
	$\operatorname {coth} \,x$	$-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$
	$\operatorname {arsinh} \,x$	${1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
	$\operatorname {arcosh} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
	$\operatorname {artanh} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$
	$\operatorname {arsech} \,x$	$-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcsch} \,x$	$-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcoth} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$

Quy luật toán đạo hàm

Quy luật toán đạo ham	Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số	$(f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm hiệu 2 hàm số	$(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm tích 2 hàm số	$(fg)'=f'g+fg'.\,$	${\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm thương 2 hàm số	$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$	${\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}$
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số	$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$
Đạo hàm Ln	$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$	${\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}$
Đạo hàm hàm số phức	$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,$
Đạo hàm hàm số nghịch	$({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)$
Đạo hàm hàm số ngược	$g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,$
Đạo hàm hàm số kép	${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$	${\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}$

Hoán chuyển đạo hàm

Phép toán

Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau

Hoán chuyển	Ký hiệu	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
Toán Đạo hàm	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
Toán Đạo hàm hàm số	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Ứng dụng

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc nhứt - Phương trình phân hủy

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s=-{\frac {b}{a}}$

$f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$

Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin không đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình đạo hàm

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(x)=Ae^{sx}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ < $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ > $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình đạo hàm

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2