Sách Vật lý/Chuyển động/Sóng/Sóng Sin

Sóng Sin

Sóng Sin là sóng có dạng sau

Có thể biểu diển bằng hàm số toán lượng giác

$f(t)=Asin\omega t$

Phương trình và hàm số sóng Sin d'Alembert

Sóng Sin

Mọi sóng đều thoả mãn một phương trình vi phân riêng phần gọi là phương trình sóng. Các phương trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trường truyền và kiểu lan truyền.

Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo phương x, theo thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.$

Ở đây, v là vận tốc lan truyền sóng. Hàm sóng tổng quát thoả mãn phương trình trên, giải bởi d'Alembert, là:

$y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)$

Sóng dừng

Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

$y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)$

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

$y(x,t)=A(x,t)\cos(\omega t-kx+\varphi ),\,$

Ở đây

A(x, t) là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc,

k là số sóng

φ là pha ban đầu.

Nếu biên độ của sóng không phụ thuộc thời gian thì sóng gọi là sóng dừng.

$A(x,t)=A(x)$

Tần số góc liên hệ với tần số qua:

$\omega =2\pi f$

Còn số sóng liên hệ với vận tốc lan truyền v của sóng qua:

$v={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,$

Ở đây λ là bước sóng f là tần số. Tần số f liên hệ với chu kỳ T qua:

$f={\frac {1}{T}}$

Mọi sóng điều hoà đều có thể đặc trưng bởi biên độ, tần số, vận tốc và pha. Ngoài ra, sóng có thể được mô tả theo phương dao động.

Phương trình và hàm số sóng Sin Laplace

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng như sau

$f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

Nghiệm của phương trình trên

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$
$\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ . n >=2

Công thức sóng tổng quát

Tính Chất Chuyển Động	Ký Hiệu	Công Thức	Đơn vị
Đường dài	$s$	$k\lambda$	m
Thời gian	$t$	$t$	s
Vận tốc	$v$	${\frac {s}{t}}={\frac {k\lambda }{t}}=k\lambda f=k\omega$	m/s
Gia tốc	$a$	${\frac {k\omega }{t}}$	m/s2
Lực	$F$	$m{\frac {k\omega }{t}}$	N
Năng lực	$W$	$pv=pk\omega$	N m
Năng lượng	$E$	$pa={\frac {pk\omega }{t}}$	N m/s