Sách Vật lý/Chuyển động/Chuyển động sóng/Phương trình và hàm số sóng

Phương trình đạo hàm sóng bậc n

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng như sau

$f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

Nghiệm của phương trình trên

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$
$\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ .

$n$ ≥ $2$

Phương trình đạo hàm sóng bậc 2

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace, ta có

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình trên cho 3 nghiệm số sau

Với $\alpha =\beta$ . $s=-\alpha$

$f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$

Với $\alpha$ > $\beta$ . $s=-\alpha \pm \lambda$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \lambda t}=Ae^{-\alpha t}e^{\lambda t}+Ae^{-\alpha t}e^{-\lambda t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$

Với $\alpha$ < $\beta$ . $s=-\alpha \pm j\omega$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \beta }t=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$