Sách Vật lý/Điện từ/Phương trình điện từ Maxwell

Các công thức của Maxwell vào năm 1865 bao gồm 20 phương trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong đó được coi là nguồn gốc của hệ phương trình Maxwell ngày nay. Các phương trình của Maxwell đã tổng quát hóa các định luật thực nghiệm được những người đi trước phát hiện ra: chỉnh sửa định luật Ampère (ba phương trình cho ba chiều (x, y, z)), định luật Gauss cho điện tích (một phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện dịch (ba phương trình (x, y, z)), mối quan hệ giữa từ trường và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường và thế năng vô hướng cũng như thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), định luật Faraday), mối quan hệ giữa điện trường và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), định luật Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình cho tính liên tục (một phương trình). Các phương trình nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vectơ. Sự thay đổi này diễn tả được tính đối xứng của các trường trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử.

Thật vậy, các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện từ, có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích... sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ là c, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng được đo trước đó bằng thực nghiệm. Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của Max Planck về vật đen và của Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử.

Sự không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu - những kết luận được rút ra từ phương trình Maxwell - là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta thay đổi hệ quy chiếu, những biến đổi Galileo cổ điển không áp dụng được vào các phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và cho ra đời thuyết tương đối hẹp.

Phương trình Điện từ Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Tên	Dạng phương trình vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$

Phương trình truyền sóng điện từ

Phương trình truyền sóng hay còn gọi là phương trình d'Alembert mô tả sự truyền đi của sóng điện từ trong môi trường vật chất

Điện trường

Bắt đầu từ phương trình:

$\nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\textbf {E}})-\nabla ^{2}{\textbf {E}}$

Trong chân không (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng:

$\nabla \cdot {\textbf {E}}=0$

nên phương trình đầu tiên trở thành:

$\nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}$.

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

$\nabla \times {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}$

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

$\nabla \times \left(-{\frac {\partial {\textbf {B}}}{\partial t}}\right)=\nabla \times (\nabla \times {\textbf {E}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}$

Theo định luật Schwartz ta có thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý phi tương đối tính):

$-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\textbf {B}})=-\nabla ^{2}{\textbf {E}}$

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không ${\textbf {j}}={\textbf {0}}$, nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

$\nabla \times {\textbf {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\textbf {E}}}{\partial t}}$

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường ${\textbf {E}}$ với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

$\nabla ^{2}{\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}$

Trong một số sách, ta có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng:

$\Delta {\textbf {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {E}}}{\partial t^{2}}}$

với toán tử $\Delta =\nabla ^{2}$.

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt gọn:

$\Delta {\textbf {E}}=0$.

Từ trường

Hoàn toàn tương tự như trên cho từ trường, ta có:

${\vec {rot}}({\vec {rot}}{\vec {H}})={\vec {grad}}(div{\vec {H}})-{\nabla }^{2}{\vec {H}}$

Trong chân không mật độ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

${\vec {rot}}{\vec {H}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Phương trình trên trở thành:

${\vec {rot}}(\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}$

Theo định luật Schwartz ta co thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian:

$\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {rot}}{\vec {E}})=-{\nabla }^{2}{\vec {H}}$

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có: ${\vec {rot}}{\vec {E}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$

Thu được:

${\nabla }^{2}{\vec {H}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}$

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần từ trường) trong chân không.