Sách đại số/Số đại số/Toán lũy thừa

Lủy thừa của một số được định nghìa là tích của số đó nhân với chính nó n lần . Lủy thừa của một số có ký hiệu $a^{n}$

a^{n}=a\times a\times a\times a...\times a

Luật toán lũy thừa

Lủy thừa không	$a^{0}=1$
Lủy thừa 1	$a^{1}=a$
Lủy thừa của số không	$0^{n}$
Lủy thừa của số 1	$1^{n}=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac {m}{n}}=n{\sqrt {a^{m}}}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$ . $(-a)^{n}=-a^{n}$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a)^{n}=a^{n}$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab)^{m}=a^{m}\times b^{m}$
Lủy thừa của thương hai số	$({\frac {a}{b}})^{m}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$
Lủy thừa của căn	$({\sqrt {a^{n}}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^{m}+a^{n}=a^{m}(1+a^{n-m})$ $a^{m}-a^{n}=a^{m}(1-a^{n-m})$ $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)} _{n}=a^{n}+C_{n-1}a^{n-1}b+...+C_{1}ab^{n-1}+b^{n}$ $(a+b)^{0}=1$ $(a+b)^{1}=a+b$ $(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{3}=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b)^{n}=\underbrace {(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)} _{n}$ $(a-b)^{0}=1$ $(a-b)^{1}=a+b$ $(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a-b)^{3}=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^{2}-b^{2}=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$

Lũy thừa với số mũ phức

Lũy thừa số mũ phức của số e

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo công thức Euler:

e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x

Sau đó với số phức $z=x+y\cdot i$ , ta có

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\cdot \sin y)

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa a^z được định nghĩa là

a^{z}={{\big (}e^{\ln a}{\big )}}^{z}=e^{z\cdot \ln a}

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình e^x = a.

Nếu $z=x+y\cdot i$ , ta có

a^{z}=e^{\ln a\cdot (x+iy)}=

e^{x\ln a+i\cdot y\ln a}

=e^{x\cdot \ln a}\cdot {\big [}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big ]}

=a^{x}\cdot {\big [}\cos(y\ln a)+i\cdot \sin(y\ln a){\big ]}

Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là e^k như sau:

(e)^{k}=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}

=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}.

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng e^x+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.