Sách đại số/Số đại số/Số ảo

Số ảo là một phần tử của Số phức có giá trị bằng căn của trừ 1.

Ký hiệu

Số ảo có ký hiệu

$i$ hay $j$

Dạng số ảo

Dạng số ảo	Số ảo thuận	Số ảo nghịch
Ký hiệu	$j={\sqrt {-1}}$	$-j={\frac {1}{j}}=j^{-1}$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo

2 số ảo cùng loại dương	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$
2 số ảo cùng loại âm	$-j+(-j)=-2j$ $-j-(-j)=0$ $-j\times -j=(-j)^{2}=-1$ ${\frac {-j}{j}}=-1$
2 số ảo khác loại	$j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$

Lủy thừa số ảo

Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$
Lũy thừa số ảo của hằng số e	Công thức Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ Đẳng thức Euler $e^{i\pi }=-1$ -