Dạng tổng quát
sửa
Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})}
Chứng minh
sửa
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
r
S
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}}
S
−
r
S
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle S-rS=a-ar^{n}}
S
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}
n
<
1
{\displaystyle n<1}
Thí dụ
sửa
1
+
1.1
+
1.1
2
+
1.1
3
=
4
{\displaystyle 1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4}
1
+
1.2
+
1.2
2
+
1.2
3
=
1
+
2
+
4
+
8
=
15
{\displaystyle 1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15}
Tổng các phần tử của cấp số nhân:
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,}
Nhân cả hai vế với (1-r ):
(
1
−
r
)
S
n
+
1
=
(
1
−
r
)
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
−
a
r
n
+
1
{\displaystyle (1-r)S_{n+1}=(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,}
vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:
S
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1
−
r
n
+
1
)
1
−
r
{\displaystyle S_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}}
Chú ý : Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0m < n
∑
k
=
m
n
a
r
k
=
a
(
r
m
−
r
n
+
1
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}}
Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng
∑
k
=
0
n
k
s
r
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}}
d
d
r
∑
k
=
0
n
r
k
=
∑
k
=
0
n
k
r
k
−
1
=
1
−
r
n
+
1
(
1
−
r
)
2
−
(
n
+
1
)
r
n
1
−
r
{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=0}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}}
Tổng vô hạn
sửa
Nếu cấp số nhân có vô hạn phần tử thì tổng
S
n
{\displaystyle S_{n}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (Bản mẫu:Abs < 1
S
=
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
lim
n
→
∞
a
(
1
−
r
n
+
1
)
1
−
r
=
a
1
−
r
{\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}}
Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có
∑
k
=
m
∞
a
r
k
=
a
r
m
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}
Cả hai công thức chỉ đúng khi Bản mẫu:Abs < 1đại số Banach , khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của các số p-adic nếu |r |p
d
d
r
∑
k
=
0
∞
r
k
=
∑
k
=
0
∞
k
r
k
−
1
=
1
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}
Tất nhiên công thức chỉ đúng khi Bản mẫu:Abs < 1
Số phức
sửa
Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng khi các phần tử là các số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler , để tính một vài tổng như:
∑
k
=
0
∞
sin
(
k
x
)
r
k
=
1
2
i
[
∑
k
=
0
∞
(
e
i
x
r
)
k
−
∑
k
=
0
∞
(
e
−
i
x
r
)
k
]
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}
∑
k
=
0
∞
cos
(
k
x
)
r
k
=
1
2
[
∑
k
=
0
∞
(
e
i
x
r
)
k
+
∑
k
=
0
∞
(
e
−
i
x
r
)
k
]
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}
Từ đó có:
∑
k
=
0
∞
sin
(
k
x
)
r
k
=
r
sin
(
x
)
1
+
r
2
−
2
r
cos
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}
∑
k
=
0
∞
cos
(
k
x
)
r
k
=
r
−
c
o
s
(
x
)
1
+
r
2
−
2
r
cos
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {r-cos(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}
Công thức
sửa
Cho
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
n phần tử đầu tiên của chuỗi:
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
−
1
=
∑
k
=
0
n
−
1
a
r
k
=
a
1
−
r
n
1
−
r
,
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},}
Với a là phần tử đầu tiên của chuỗi, r là công bội. Ta có thể biến đổi công thức như sau:
Đặt:
s
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle s=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}}
Nhân 2 vế với r:
r
s
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
⋯
+
a
r
n
{\displaystyle rs=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n}}
s
−
r
s
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle s-rs=a-ar^{n}}
s
(
1
−
r
)
=
a
(
1
−
r
n
)
,
{\displaystyle s(1-r)=a(1-r^{n}),}
Suy ra:
s
=
a
1
−
r
n
1
−
r
.
{\displaystyle s=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}.}
Khi n tiến đến vô cùng, công bội r phải nhỏ hơn 1 thì chuỗi mới có thể hội tụ, tổng của chuỗi khi đó là:
s
=
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
a
1
−
r
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
⋯
.
{\displaystyle s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots .}
Nếu a = 1
1
+
r
+
r
2
+
r
3
+
⋯
=
1
1
−
r
,
{\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},}
Vế trái là một chuỗi hình học với công bội r , ta biến đổi công thức:
Đặt:
s
=
1
+
r
+
r
2
+
r
3
+
⋯
.
{\displaystyle s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .}
Nhân 2 vế với r :
r
s
=
r
+
r
2
+
r
3
+
⋯
.
{\displaystyle rs=r+r^{2}+r^{3}+\cdots .}
Suy ra:
s
−
r
s
=
1
,
nên
s
(
1
−
r
)
=
1
,
suy ra
s
=
1
1
−
r
.
{\displaystyle s-rs=1,{\text{ nên }}s(1-r)=1,{\text{ suy ra }}s={\frac {1}{1-r}}.}
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d98a198d0b39a44e3c8796dca76dfcbcede1a6)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba40ff2f61f16b6bcc3b06a35baefcad951b5d4)
