Chuỗi Taylor của hàm thực hay phức f (x) khả vi vô hạn tại số thực hay phức a tương ứng là chuỗi lũy thừa sau
trong đó n! ký hiệu giai thừa của n. Để gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu Sigma, công thức trên được viết lại thành
trong đó f(n)(a) ký hiệu đạo hàm thứ n của f tính tại a. Đạo hàm với bậc 0 của f được định nghĩa là chính hàm f và hai giá trị (x − a)0 và 0! đều định nghĩa bằng với 1.
Khi a = 0, chuỗi trên cũng được gọi là chuỗi Maclaurin.
Khai triển trên đúng là bởi đạo hàm của ex đối với Bản mẫu:Mvar cũng là ex, và e0 bằng với 1. Do đó ta được (x − 0)n tại tử số và n! tại mẫu số của mỗi phần tử trong chuỗi.
Bản mẫu:Main
Nếu f (x) được xác định bởi chuỗi lũy thừa hội tụ trong hình tròn mở tâm Bản mẫu:Mvar trên mặt phẳng phức (hay trên khoảng số thực), nó được gọi là hàm giải tích trên miền đó [2]. Do đó, với Bản mẫu:Mvar thuộc miền đó, và Bản mẫu:Mvar được cho bởi chuỗi lũy thừa hội tụ sau
Vì vậy khai triển chuỗi lũy thừa khi ấy tương đương với chuỗi Taylor. Do đó, hàm số giải tích trong hình tròn mở tâm Bản mẫu:Mvar khi và chỉ khi chuỗi Taylor của nó hội tụ đến giá trị hàm tại mỗi điểm thuộc hình tròn.
Nếu f (x) bằng với tổng chuỗi Talor tại mọi Bản mẫu:Mvar thuộc mặt phẳng phức, thì nó được gọi là hàm nguyên[3]. Các đa thức, hàm mũex, và các hàm lượng giác sin và cos, là các ví dụ của hàm nguyên. Các ví dụ của các hàm không nguyên bao gồm căn bậc hai, lôgarit, các hàm lượng giác tang, và nghịch đảo của nó, arctan. Đối với các hàm này, chuỗi Taylor không hội tụ khi Bản mẫu:Mvar xa khỏi Bản mẫu:Mvar. Nghĩa là chuỗi Taylor phân kỳ tại Bản mẫu:Mvar khi khoảng cách giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar lớn hơn bán kính hội tụ. Chuỗi Taylor có thể dùng để tính giá trị hàm nguyên tại mọi điểm, nếu giá trị của hàm đó cũng như các đạo hàm của hàm đó đã được tính trước tại một điểm.
Các ứng dụng của chuỗi Taylor cho hàm giải tích bao gồm [4]:
Các tổng riêng (Các đa thức Taylor) của chuỗi có thể dùng để tính xấp xỉ giá trị hàm. Các xấp xỉ này tốt khi đủ số phần tử được xét.
Vi phân và tích phân của chuỗi lũy thừa có thể được tính dễ dàng hơn so với hàm ban đầu.
Chuỗi (đã bị cắt đi một phần) có thể dùng để tính giá trị số của hàm, (bằng cách đưa các đa thức về dạng Chebyshev rồi dùng thuật toán Clenshaw).
Các phép đại số có thể sử dụng trên biểu diễn chuỗi lũy thừa, ví dụ như công thức Euler đến từ khai triển chuỗi Taylor cho các hàm lượng giác và hàm mũ. Kết quả này quan trọng trong giải tích điều hòa.
Xấp xỉ sử dụng các phần tử đầu của chuỗi Taylor có thể khiến một số bài toán bất khả thi giải được trong miền được giới hạn; Phương pháp này được sử dụng trong vật lý.
Trong ảnh là xấp xỉ chính xác của hàm sin x quanh điểm x = 0. Đường màu hồng là đa thức Taylor bậc 7:
Sai số của xấp xỉ này không quá Bản mẫu:Abs9 / 9!. Với một chu kỳ đầy đủ (−π < x < π) sai số này nhỏ hơn 0.08215. Cụ thể hơn, với −1 < x < 1, sai số nhỏ hơn 0,000003.
Ngược lại là ảnh đồ thị của hàm ln(1 + x) và đa thức Taylor của nó quanh a = 0. Các xấp xỉ này hội tụ chỉ khi −1 < x ≤ 1; ngoài miền này các đa thức Taylor tính xấp xỉ kém hơn so với các đa thức trong miền.
Sai số xuất hiện trong xấp xỉ hàm số của đa thức Taylor bậc Bản mẫu:Mvar được gọi là phần dư Taylor (hay cụ thể hơn, phần dư Taylor bậc n) và được ký hiệu bởi hàm Rn(x):
Trong đó ký hiệu đa thức Taylor bậc n. Định lý Taylor được dùng để xác định cận trên và dưới của phần dư.
Tổng quát thì, chuỗi Taylor không nhất thiết phải hội tụ. Thêm nữa tập các hàm mà chuỗi Taylor của nó hội tụ là tập meagre trong không gian Fréchet của các hàm trơn[5]. Và kể cả khi chuỗi Taylor của hàm Bản mẫu:Mvar có hội tụ, giới hạn của nó cũng không nhất thiết phải bằng với giá trị của hàm f (x). Lấy ví dụ, hàm
khả vi vô hạn tại x = 0, và có mọi đạo hàm của nó bằng không tại đó. Do đó, chuỗi Taylor của f (x) quanh x = 0 cũng bằng không. Tuy nhiên, f (x) không phải hàm không, nên không bằng với chuỗi Taylor quanh x = 0. Do đó, hàm f (x) trên là ví dụ của hàm trơn không giải tích.
Trong giải tích thực, ví dụ này cho thấy có vô số các hàm khả vi vô hạnf (x) mà chuỗi Taylor của nó không bằng với f (x) kể cả khi chuỗi hội tụ. Ngược lại, các hàm chỉnh hình trong giải tích phức luôn có chuỗi Taylor của nó hội tụ,thậm chí kể cả các hàm phân hình, dù các hàm đó có các điểm kỳ dị nhưng chuỗi Taylor của nó không bao giờ hội tụ đến giá trị khác với giá trị hàm. Tuy nhiên, hàm phức liên tụce−1/z2, không tiến đến 0 khi Bản mẫu:Mvar chạy tới 0 theo trục ảo, nên nó không trong mặt phẳng phức và chuỗi Taylor của nó không xác định tại 0.
Tổng quát hơn, mọi dãy số thực hay phức có thể làm hệ số của chuỗi Taylor cho một hàm số khả vi vô hạn trên đường số thực, một hệ quả của bổ đề Borel. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi Taylor có thể bằng không. Có vô hạn các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor của nó có bán kính hội tụ bằng 0 mọi điểm.[6]
Hàm số không thể viết thành chuỗi Taylor tại các điểm kỳ dị; nếu muốn thì, ta vẫn có thể có khai triển chuỗi nếu cho phép sử dụng lũy thừa bậc âm của biến Bản mẫu:Mvar; xem chuỗi Laurent. Lấy ví dụ, hàm f (x) = e−1/x2 có thể viết thành chuỗi Laurent.
Tuy nhiên, có dạng tổng quát[7][8] của chuỗi Taylor có hội tụ đến giá trị hàm với bất kỳ hàm liên tụcbị chặn trên (0,∞), sử dụng vi tích phân của số gia hữu hạn. Đầy đủ hơn, ta có định lý sau bởi Einar Hille, rằng với bất kỳ t > 0,
Ở đây ΔBản mẫu:Su là toán tử số gia hữu hạn thứ Bản mẫu:Mvar với bước Bản mẫu:Mvar. Chuỗi này là chuỗi Taylor, nhưng thay vì là đạo hàm thì thay vào đó là số gia: chuỗi này tương tự với chuỗi Newton. Khi hàm Bản mẫu:Mvar giải tích tại Bản mẫu:Mvar, các phần tử trong chuỗi hội tụ đến các phần tử trong chuỗi Taylor, do thế mới ám chỉ tổng quát chuỗi Taylor.
Tổng quát thì, với bất kỳ dãy vô hạn ai nào, định thức chuỗi lũy thừa sau được thỏa mãn:
Có nhiều phương pháp để tính chuỗi Taylor cho các hàm số khác nhau. Đầu tiên có thể dùng luôn định nghĩa chuỗi Taylor, song làm như vậy yêu cầu phải tổng quát các hệ số theo một nhận dạng dễ nhìn. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng các phép cơ bản như phép thế, phép nhân, phép chia hay cộng, trừ của chuỗi Taylor căn bản để tìm chuỗi Taylor cho hàm cần tìm, bởi bản chất của chuỗi Taylor là chuỗi lũy thừa. Trong một số trường hợp, có thể tìm ra chuỗi Taylor bằng cách liên tục áp dụng tích phân từng phần. Tiện hơn nhiều đó là việc dùng các hệ thống đại số máy tính để tính các chuỗi Taylor.
Chuỗi Taylor cho lôgarit tự nhiên (sử dụng ký hiệu O lớn) là
và cho hàm cosin là
.
Khai triển của hàm cosin có phần tử bằng không, cho phép thay chuỗi thứ hai vào chuỗi thứ nhất rồi bỏ đi các phần tử có bậc lớn hơn 7 bằng cách sử dụng ký hiệu Bản mẫu:Mvar lớn:
Bởi hàm cosin là hàm chẵn, hệ số cho các lũy thừa bậc lẻ x, x3, x5, x7, ... đều bằng không.
Ở đây ta dùng "khai triển gián tiếp" để tìm ra khai triển cho hàm số sau. Phương pháp này sử dụng khai triển của hàm mũ. Để khai triển hàm (1 + x)ex thành chuỗi Taylor của Bản mẫu:Mvar, ta dùng khai triển đã biết của hàm mũ ex:
Theo cổ điển, các hàm đại số được định nghĩa bởi phương trình đại số, và các hàm siêu việt (bao gồm các hàm trên) được định nghĩa bởi một số tính chất thêm vào mà chúng thỏa mãn, như phương trình vi phân. Lấy ví dụ, hàm mũ là hàm bằng với đạo hàm của nó tại mọi nơi, nhận giá trị 1 tại gốc tọa độ [11]. Tương tự như vậy, có thể định nghĩa các hàm giải tích bằng các chuỗi Taylor của chúng.
Chuỗi Taylor được sử dụng để định nghĩa các "toán tử" trong nhiều trường của toán học. Cụ thể hơn, điều này đúng khi định nghĩa cổ điển của hàm số không còn đúng nữa. Lấy ví dụ, dùng chuỗi Taylor, ta có thể mở rộng các hàm giải tích cho tập các ma trận và các toán tử, như mũ ma trận hay lôgarit ma trận[12].
Trong các nhánh khác, như giải tích, người ta thường làm việc dễ dàng hơn với chính các chuỗi lũy thừa. Ví dụ chẳng hạn, có thể coi nghiệm của phương trình vi phân là chuỗi lũy thừa, sau đó thử chứng minh xem chuỗi Taylor đó có phải là chuỗi Taylor của nghiệm cần tìm[13].
Bản mẫu:MainChuỗi Fourier cho phép biểu diễn hàm tuần hoàn (hay hàm được định nghĩa trên khoảng đóng [a,b]) là tổng vô hạn của các hàm lượng giác (sin và cosine). Theo cách hiểu đó, chuỗi Fourier cũng có vẻ tương tự với chuỗi Taylor, bởi chuỗi Taylor cũng là tổng vô hạn nhưng là của các lũy thừa. Song, hai chuỗi này khác nhau tại một số điểm sau[16]:
Dù có bỏ đi bất cứ hữu hạn số phần tử nào trong chuỗi Taylor của f (x) quanh điểm x = a, thì giá trị chuỗi vẫn bằng với f tại a. Ngược lại, chuỗi Fourier được tính bằng nguyên hàm trên toàn khoảng nên không có điểm nào trong khoảng mà giá trị hàm bằng với giá trị chuỗi.
Để tính chuỗi Taylor thì cần phải biết hàm số trên một lân cận nhỏ tùy ý của một điểm nào đó, trong khi tính chuỗi Fourier thì cần phải biết hàm số trên toàn bộ miền của nó. Theo cách hiểu đó, có thể nói chuỗi Taylor có tính "địa phương" còn chuỗi Fourier thì mang tính "toàn cục".[17]
Chuỗi Taylor được định nghĩa cho các hàm có vô hạn đạo hàm tại một điểm, trong khi chuỗi Fourier được định nghĩa cho hàm khả tích. Ví dụ cụ thể như, các hàm mà không đâu khả vi. (Ví dụ, f (x) có thể là hàm Weierstrass.)
Hội tụ giữa hai chuỗi có các tính chất khác nhau. Kể cả khi chuỗi Taylor có bán kính hội tụ của nó dương, giá trị chuỗi không nhất thiết phải bằng giá trị hàm; nhưng nếu hàm số giải tích thì chuỗi hội tụ từng điểm với hàm, và hội tụ đều trên mọi tập con compact của khoảng hội tụ. Còn đối với chuỗi Fourier, nếu hàm số bình phương khả tích thì hàm số hội tụ trong trung bình toàn phương, nhưng cần có điều kiện thêm vào để đảm bảo hội tụ từng điểm hay hội tụ đều (ví dụ chẳng hạn, nếu hàm tuần hoàn và thuộc lớp C1 thì chuỗi Fourier hội tụ đều).
Trong ứng dụng, khi muốn tính xấp xỉ một hàm số với hữu hạn số phần tử thì sử dụng đa thức Taylor hoặc tổng riêng của chuỗi các hàm lượng giác, tương ứng với chuỗi Taylor và chuỗi Fourier. Trong trường hợp chuỗi Taylor, thì sai số của nó rất nhỏ trong lân cận của điểm nó được xét, nhưng lại rất lớn khi cách xa điểm đang xét. Đối với chuỗi Fourier thì sai số được phân phối trên toàn miền của hàm số.