Bản mẫu:See also
Sau đây là các khai triển chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp.[1] Tất cả khai triển này đều đúng với Bản mẫu:Mvar phức.
Hàm mũ (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin
- .
Nó hội tụ với mọi Bản mẫu:Mvar.
Hàm sinh mũ của các số Bell là hàm mũ của số trước đó của hàm mũ:
-
Bản mẫu:Main
Lôgarit tự nhiên (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin
-
Chúng hội tụ với . (Thêm nữa, chuỗi cho ln(1 − x) hội tụ khi x = −1, và chuỗi cho ln(1 + x) hội tụ khi x = 1.)
Chuỗi hình học và các đạo hàm của nó có chuỗi Maclaurin như sau
-
Tất cả đều hội tụ cho . Đây là các trường hợp đặc biệt cho chuỗi nhị thức trong mục sau.
Chuỗi nhị thức là chuỗi lũy thừa
trong đó các hệ số là các hệ số nhị thức:
(Nếu n = 0, tích này thành tích rỗng và có giá trị 1.) Nó hội tụ cho với bất kỳ số thực hay phức Bản mẫu:Mvar.
Khi α = −1, chuỗi này trở thành chuỗi hình học trong mục trước. Trường hợp đặc biệt α = Bản mẫu:Sfrac và α = −Bản mẫu:Sfrac cho hàm căn bậc hai và nghịch đảo của nó:
Khi chỉ có mỗi các phần tử tuyến tính được giữ lại, xấp xỉ này đơn giản hóa thành xấp xỉ nhị thức.
Các hàm lượng giác thường gặp và nghịch đảo của chúng có chuỗi Maclaurin như sau:
-
Tất cả các góc đều trong radian. Các số Bk xuất hiện trong biểu thức tan x là các số Bernoulli. Các số Ek trong khai triển của sec x là các số Euler.
Các hàm hyperbolic có chuỗi Maclaurin gần giống với các hàm lượng giác:
-
Các số Bk xuất hiện trong chuỗi cho tanh x là các số Bernoulli.
Các hàm polylogarit có định thức sau:
-
-
Các hàm chi Legendre được định nghĩa như sau:
-
-
Các công thức bên dưới được gọi là nguyên hàm tiếp tuyến nghịch đảo:
-
-
Trong cơ học thống kê, các công thức này rất quan trọng.
Nguyên hàm Elliptic đầy đủ của loại đầu K và loại thứ hai E được định nghĩa như sau:
-
-
Các hàm theta Jacobi mô tả thế giới của hàm môđun elliptic và chúng thường có chuỗi Taylor như sau :
-
-
Dãy số phân hoạch P(n) có hàm sinh sau:
-
Dãy số phân hoạch nghiêm ngặt Q(n) có hàm sinh sau:
-
- ▲ Phần lớn các chuỗi này có thể tìm thấy trong Bản mẫu:Harv.