Trang chính
Ngẫu nhiên
Đăng nhập
Tùy chọn
Quyên góp
Giới thiệu Wikibooks
Lời phủ nhận
Tìm kiếm
Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Công thức tổng dải số
Ngôn ngữ
Theo dõi
Sửa đổi
<
Sách đại số
|
Dải số
|
Tổng dải số
Mục lục
1
Tổng dải số hằng số
2
Tổng dải số lũy thừa
3
Hằng số π
4
Lôgarit tự nhiên của 2
5
Lôgarit tự nhiên cơ số
e
6
Tổng dải số hàm số lượng giác
Tổng dải số hằng số
sửa
∑
k
=
0
n
c
=
n
c
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{c}=nc}
where
c
{\displaystyle c}
is some constant.
Tổng dải số lũy thừa
sửa
∑
k
=
0
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑
k
=
0
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑
k
=
0
n
k
3
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
e
x
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
=
ln
(
1
+
x
)
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
=
cos
(
x
)
for all
x
∈
C
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C} }
Hằng số π
sửa
∑
i
=
1
∞
1
i
2
=
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
4
2
+
⋯
=
π
2
6
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
+
1
(
4
)
2
i
−
1
=
4
1
−
4
3
+
4
5
−
4
7
+
4
9
−
4
11
+
4
13
−
⋯
=
π
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }
Lôgarit tự nhiên của 2
sửa
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
+
1
i
=
ln
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2}
∑
i
=
0
∞
1
(
2
i
+
1
)
(
2
i
+
2
)
=
ln
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2}
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
(
i
+
1
)
(
i
+
2
)
=
2
ln
(
2
)
−
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1}
∑
i
=
1
∞
1
i
(
4
i
2
−
1
)
=
2
ln
(
2
)
−
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1}
∑
i
=
1
∞
1
2
i
i
=
ln
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2}
∑
i
=
1
∞
(
1
3
i
+
1
4
i
)
1
i
=
ln
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2}
∑
i
=
1
∞
1
2
i
(
2
i
−
1
)
=
ln
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2}
Lôgarit tự nhiên cơ số
e
sửa
∑
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
i
!
=
1
−
1
1
!
+
1
2
!
−
1
3
!
+
⋯
=
1
e
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}
∑
i
=
0
∞
1
i
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
⋯
=
e
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}
Tổng dải số hàm số lượng giác
sửa
c
o
s
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
{\displaystyle cos=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }
{\displaystyle }
s
i
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle sin=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }