Trợ giúp:Công thức toán

Trang này tập trung vào hướng dẫn cách viết công thức toán học phức tạp bằng mã TEX. Nếu bạn chỉ viết những công thức đơn giản, bạn có thể chỉ cần dùng mã HTML và các ký tự đặc biệt.

Tổng quan

Khi bạn viết công thức toán học bằng mã TEX, bạn viết nó giữa 2 mã: <math> và </math>. Khi ấn Xem thử trước hoặc Lưu thông tin phần mềm sẽ cố hiểu công thức bạn viết; và nếu nó không sai cú pháp, phần mềm sẽ chuyển tải ra dạng hình ảnh PNG hoặc dạng mã HTML cho trình duyệt mạng đọc trong trường hợp công thức đơn giản.

Dấu cách và dấu xuống dòng bị bỏ qua. Các biến số được tự động viết nghiêng, nhưng chữ số thì không. Nếu không muốn viết nghiêng, dùng \mbox. Ví dụ: <math>\mbox{abc}</math> sẽ cho ${\mbox{abc}}$ .

Hàm, biểu tượng, ký tự đặc biệt

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
Dấu thanh	\acute{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \check{a} \quad \tilde{a}	${\acute {a}}\quad {\grave {a}}\quad {\breve {a}}\quad {\check {a}}\quad {\tilde {a}}$
Hàm (cách viết đúng)	\sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z \sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f \sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j \arcsin k \ \arccos l \ \arctan m \lim n \ \limsup o \ \liminf p \min q \ \max r \ \inf s \ \sup t \exp u \ \lg v \ \log w \ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x	$\sin x+\ln y+\operatorname {sgn} z$ $\sin a\ \cos b\ \tan c\ \cot d\ \sec e\ \csc f$ $\sinh g\ \cosh h\ \tanh i\ \coth j$ $\arcsin k\ \arccos l\ \arctan m$ $\lim n\ \limsup o\ \liminf p$ $\min q\ \max r\ \inf s\ \sup t$ $\exp u\ \lg v\ \log w$ $\ker x\ \deg x\gcd x\Pr x\ \det x\hom x\ \arg x\dim x$
Hàm (cách viết sai)	sin x + ln y + sgn z	$sinx+lny+sgnz\,\!$
Mođun	s_k \equiv 0 \pmod{m} a \bmod b	$s_{k}\equiv 0{\pmod {m}}$ $a{\bmod {b}}\,\!$
Vi phân	\nabla \; \partial x \; dx \; \dot x \; \ddot y	$\nabla \;\partial x\;dx\;{\dot {x}}\;{\ddot {y}}$
Tập hợp	\forall \; \exists \; \empty \; \emptyset \; \varnothing \in \ni \not\in \notin \subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus	$\forall \;\exists \;\emptyset \;\emptyset \;\varnothing \in \ni \not \in \notin$ $\subset \subseteq \supset \supseteq \cap \bigcap \cup \bigcup \biguplus$
Tập hợp	\sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup	$\sqsubset \sqsubseteq \sqsupset \sqsupseteq \sqcap \sqcup \bigsqcup$
Lôgíc	p \land \wedge \; \bigwedge \; \bar{q} \to p\ lor \vee \; \bigvee \; \lnot \; \neg q \; \setminus \; \smallsetminus	$p\land \wedge \;\bigwedge \;{\bar {q}}\to p\lor \vee \;\bigvee \;\lnot \;\neg q\;\setminus \;\smallsetminus$
Căn	\sqrt{2}\approx 1.4	${\sqrt {2}}\approx 1.4$
Căn	\sqrt[n]{x}	${\sqrt[{n}]{x}}$
Tương quan	\sim \; \approx \; \simeq \; \cong \; \le \; < \; \ge \; > \; \equiv \; \not\equiv \; \ne \; \propto \; \pm \; \mp	$\sim \;\approx \;\simeq \;\cong \;\leq \;<\;\geq \;>\;\equiv \;\not \equiv \;\neq \;\propto \;\pm \;\mp$
Hình học	\Diamond \; \Box \; \triangle \; \angle \; \perp \; \mid \; \nmid \; \\| \; 45^\circ	$\Diamond \;\Box \;\triangle \;\angle \;\perp \;\mid \;\nmid \;\\|\;45^{\circ }$
Mũi tên	\leftarrow \; \gets \; \rightarrow \; \to \; \leftrightarrow \longleftarrow \; \longrightarrow \mapsto \; \longmapsto \; \hookrightarrow \; \hookleftarrow \nearrow \; \searrow \; \swarrow \; \nwarrow \uparrow \; \downarrow \; \updownarrow	$\leftarrow \;\gets \;\rightarrow \;\to \;\leftrightarrow$ $\longleftarrow \;\longrightarrow$ $\mapsto \;\longmapsto \;\hookrightarrow \;\hookleftarrow$ $\nearrow \;\searrow \;\swarrow \;\nwarrow$ $\uparrow \;\downarrow \;\updownarrow$
	\rightharpoonup \; \rightharpoondown \; \leftharpoonup \; \leftharpoondown \; \upharpoonleft \; \upharpoonright \; \downharpoonleft \; \downharpoonright	$\rightharpoonup \;\rightharpoondown \;\leftharpoonup \;\leftharpoondown \;\upharpoonleft \;\upharpoonright \;\downharpoonleft \;\downharpoonright$
	\Leftarrow \; \Rightarrow \; \Leftrightarrow \Longleftarrow \; \Longrightarrow \; \Longleftrightarrow (or \iff) \Uparrow \; \Downarrow \; \Updownarrow	$\Leftarrow \;\Rightarrow \;\Leftrightarrow$ $\Longleftarrow \;\Longrightarrow \;\Longleftrightarrow (or\iff )$ $\Uparrow \;\Downarrow \;\Updownarrow$
Đặc biệt	\eth \; \S \; \P \; \% \; \dagger \; \ddagger \; \star \; * \; \ldots \smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes \times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert \imath \; \hbar \; \ell \; \mho \; \Finv \; \Re \; \Im \; \wp \; \complement \quad \diamondsuit \; \heartsuit \; \clubsuit \; \spadesuit \; \Game \quad \flat \; \natural \; \sharp	$\eth \;\S \;\P \;\%\;\dagger \;\ddagger \;\star \;*\;\ldots$ $\smile \frown \wr \oplus \bigoplus \otimes \bigotimes$ $\times \cdot \circ \bullet \bigodot \triangleleft \triangleright \infty \bot \top \vdash \vDash \Vdash \models \lVert \rVert$ $\imath \;\hbar \;\ell \;\mho \;\Finv \;\Re \;\Im \;\wp \;\complement \quad \diamondsuit \;\heartsuit \;\clubsuit \;\spadesuit \;\Game \quad \flat \;\natural \;\sharp$
Viết thường bằng \mathcal	\mathcal {45abcdenpqstuvwx}	${\mathcal {45abcdenpqstuvwx}}$

Số mũ, chỉ số dưới, tích phân

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
		HTML	PNG
Số mũ	a^2	$a^{2}$	$a^{2}\,\!$
Chỉ số dưới	a_2	$a_{2}$	$a_{2}\,\!$
Nhóm	a^{2+2}	$a^{2+2}$	$a^{2+2}\,\!$
Nhóm	a_{i,j}	$a_{i,j}$	$a_{i,j}\,\!$
Kết hợp hai kiểu	x_2^3	$x_{2}^{3}$
Viết mũ và chỉ số đằng trước	{}_1^2\!X_3^4	${}_{1}^{2}\!X_{3}^{4}$
Vi phân (cách viết đúng)	x', y''	$x',y''$	$x',y''\,\!$
Vi phân (cách viết HTML sai)	x^\prime, y^{\prime\prime}	$x^{\prime },y^{\prime \prime }$	$x^{\prime },y^{\prime \prime }\,\!$
Vi phân (cách viết PNG sai)	x\prime, y\prime\prime	$x\prime ,y\prime \prime$	$x\prime ,y\prime \prime \,\!$
Chấm vi phân	\dot{x}, \ddot{x}	${\dot {x}},{\ddot {x}}$
Gạch dưới, gạch trên, véctơ	\hat a \ \bar b \ \vec c \ \overrightarrow{a b} \ \overleftarrow{c d} \ \widehat{d e f} \ \overline{g h i} \ \underline{j k l}	${\hat {a}}\ {\bar {b}}\ {\vec {c}}\ {\overrightarrow {ab}}\ {\overleftarrow {cd}}\ {\widehat {def}}\ {\overline {ghi}}\ {\underline {jkl}}$
Ngoặc ôm trên	\begin{matrix} 5050 \\ \overbrace{ 1+2+\cdots+100 } \end{matrix}	${\begin{matrix}5050\\\overbrace {1+2+\cdots +100} \end{matrix}}$
Ngoặc ôm dưới	\begin{matrix} \underbrace{ a+b+\cdots+z } \\ 26 \end{matrix}	${\begin{matrix}\underbrace {a+b+\cdots +z} \\26\end{matrix}}$
Tổng	\sum_{k=1}^N k^2	$\sum _{k=1}^{N}k^{2}$
Tích	\prod_{i=1}^N x_i	$\prod _{i=1}^{N}x_{i}$
Đồng tích	\coprod_{i=1}^N x_i	$\coprod _{i=1}^{N}x_{i}$
Giới hạn	\lim_{n \to \infty}x_n	$\lim _{n\to \infty }x_{n}$
Tích phân	\int_{-N}^{N} e^x\, dx	$\int _{-N}^{N}e^{x}\,dx$
Tích phân kép	\iint_{D}^{W} \, dx\,dy	$\iint _{D}^{W}\,dx\,dy$
Tích phân ba lớp	\iiint_{E}^{V} \, dx\,dy\,dz	$\iiint _{E}^{V}\,dx\,dy\,dz$
Tích phân 4 lớp	\iiiint_{F}^{U} \, dx\,dy\,dz\,dt	$\iiiint _{F}^{U}\,dx\,dy\,dz\,dt$
Tích phân đường	\oint_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy	$\oint _{C}x^{3}\,dx+4y^{2}\,dy$
Giao	\bigcap_1^{n} p	$\bigcap _{1}^{n}p$
Hợp	\bigcup_1^{k} p	$\bigcup _{1}^{k}p$

Phân số, ma trận, nhiều dòng

Ý nghĩa

Mã

Thể hiện

Phân số

\frac{2}{4} or {2 \over 4}

{\frac {2}{4}}

Hệ số nhị thức

{n \choose k}

{n \choose k}

Phân số nhỏ

\begin{matrix} \frac{2}{4} \end{matrix}

{\begin{matrix}{\frac {2}{4}}\end{matrix}}

Ma trận

\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}

{\begin{matrix}x&y\\z&v\end{matrix}}

\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}

{\begin{vmatrix}x&y\\z&v\end{vmatrix}}

\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}

{\begin{Vmatrix}x&y\\z&v\end{Vmatrix}}

\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots &

\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}

{\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}

\begin{Bmatrix} x & y \\ z & v \end{Bmatrix}

{\begin{Bmatrix}x&y\\z&v\end{Bmatrix}}

\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}

{\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}

Chia trường hợp

f(n) = \begin{cases} n/2, & \mbox{khi }n < 0 \\ 3n+1, & \mbox{khi }n > 0 \end{cases}

f(n)={\begin{cases}n/2,&{\mbox{khi }}n<0\\3n+1,&{\mbox{khi }}n>0\end{cases}}

Phương trình nhiều dòng

\begin{matrix}f(n+1) & = & (n+1)^2 \\ \ &

= & n^2 + 2n + 1 \end{matrix}

{\begin{matrix}f(n+1)&=&(n+1)^{2}\\\ &=&n^{2}+2n+1\end{matrix}}

Phương trình nhiều dòng (dùng bảng)

{|
|-
|<math>f(n+1)</math>
|<math>=(n+1)^2</math>
|-
|
|<math>=n^2 + 2n + 1</math>
|}

$f(n+1)\,\!$	$=(n+1)^{2}\,\!$
	$=n^{2}+2n+1\,\!$

Ký tự

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
chữ Hy Lạp	\Alpha\ \Beta\ \Gamma\ \Delta\ \Epsilon\ \Zeta\ \Eta\ \Theta\ \Iota\ \Kappa\ \Lambda\ \Mu\ \Nu\ \Xi\ \Pi\ \Rho\ \Sigma\ \Tau\ \Upsilon\ \Phi\ \Chi\ \Psi\ \Omega \alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega \varepsilon\ \digamma\ \vartheta\ \varkappa\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi	$\mathrm {A} \ \mathrm {B} \ \Gamma \ \Delta \ \mathrm {E} \ \mathrm {Z} \ \mathrm {H} \ \Theta \ \mathrm {I} \ \mathrm {K} \ \Lambda \ \mathrm {M} \ \mathrm {N} \ \Xi \ \Pi \ \mathrm {P} \ \Sigma \ \mathrm {T} \ \Upsilon \ \Phi \ \mathrm {X} \ \Psi \ \Omega$ $\alpha \ \beta \ \gamma \ \delta \ \epsilon \ \zeta \ \eta \ \theta \ \iota \ \kappa \ \lambda \ \mu \ \nu \ \xi \ \pi \ \rho \ \sigma \ \tau \ \upsilon \ \phi \ \chi \ \psi \ \omega$ $\varepsilon \ \digamma \ \vartheta \ \varkappa \ \varpi \ \varrho \ \varsigma \ \varphi$
Viết đậm kép	\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}	$\mathbb {N} \ \mathbb {Z} \ \mathbb {Q} \ \mathbb {R} \ \mathbb {C}$
Viết đậm véctơ	\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0	$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =0$
Viết đậm chữ Hy Lạp	\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}	${\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\gamma }}$
Nghiêng	\mathit{ABCDE abcde 1234}	${\mathit {ABCDEabcde1234}}\,\!$
Kiểu La Mã	\mathrm{ABCDE abcde 1234}	$\mathrm {ABCDEabcde1234} \,\!$
Kiểu Fraktur	\mathfrak{ABCDE abcde 1234}	${\mathfrak {ABCDEabcde1234}}$
Viết văn hoa	\mathcal{ABCDE abcde 1234}	${\mathcal {ABCDEabcde1234}}$
Chữ Do thái	\aleph \beth \gimel \daleth	$\aleph \ \beth \ \gimel \ \daleth$
Không bị nghiêng	\mbox{abc}	${\mbox{abc}}$	${\mbox{abc}}\,\!$
Trộn kiểu nghiêng (không hay)	\mbox{if} n \mbox{is even}	${\mbox{if}}n{\mbox{is even}}$	${\mbox{if}}n{\mbox{is even}}\,\!$
Trộn kiểu nghiêng (tốt)	\mbox{if }n\mbox{ is even}	${\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}$	${\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\,\!$

Ngoặc lớn, ngoặc vuông, trị

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
Không đẹp	( \frac{1}{2} )	$({\frac {1}{2}})$
Đẹp	\left ( \frac{1}{2} \right )	$\left({\frac {1}{2}}\right)$

Có thể dùng \left và \right cho từng ngoặc riêng rẽ:

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
Ngoặc	\left ( \frac{a}{b} \right )	$\left({\frac {a}{b}}\right)$
Ngoặc vuông	\left [ \frac{a}{b} \right ] \quad \left \lbrack \frac{a}{b} \right \rbrack	$\left[{\frac {a}{b}}\right]\quad \left\lbrack {\frac {a}{b}}\right\rbrack$
Ngoặc móc	\left \{ \frac{a}{b} \right \} \quad \left \lbrace \frac{a}{b} \right \rbrace	$\left\{{\frac {a}{b}}\right\}\quad \left\lbrace {\frac {a}{b}}\right\rbrace$
Ngoặc nhọn	\left \langle \frac{a}{b} \right \rangle	$\left\langle {\frac {a}{b}}\right\rangle$
Trị và Trị kép	\frac{a}{b} \right \vert \left \Vert \frac{c}{d} \right \\|	$\left\|{\frac {a}{b}}\right\vert \left\Vert {\frac {c}{d}}\right\\|$
Hàm trị nguyên	\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \left \lceil \frac{c}{d} \right \rceil	$\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor \left\lceil {\frac {c}{d}}\right\rceil$
Ngoặc chéo	\left / \frac{a}{b} \right \backslash	$\left/{\frac {a}{b}}\right\backslash$
Mũi tên lên xuống	\left \uparrow \frac{a}{b} \right \downarrow \quad \left \Uparrow \frac{a}{b} \right \Downarrow \quad \left \updownarrow \frac{a}{b} \right \Updownarrow	$\left\uparrow {\frac {a}{b}}\right\downarrow \quad \left\Uparrow {\frac {a}{b}}\right\Downarrow \quad \left\updownarrow {\frac {a}{b}}\right\Updownarrow$
Trộn lẫn (đủ bộ hai bên)		$\left[0,1\right)$ $\left\langle \psi \right\|$
Dùng \left. và \right. khi không muốn có ngoặc	\left . \frac{A}{B} \right \} \to X	$\left.{\frac {A}{B}}\right\}\to X$
Kích thước	\big( \Big( \bigg( \Bigg( ... \Bigg] \bigg] \Big] \big]	${\big (}{\Big (}{\bigg (}{\Bigg (}...{\Bigg ]}{\bigg ]}{\Big ]}{\big ]}$
	\big\{ \Big\{ \bigg\{ \Bigg\{ ... \Bigg\rangle \bigg\rangle \Big\rangle \big\rangle	${\big \{}{\Big \{}{\bigg \{}{\Bigg \{}...{\Bigg \rangle }{\bigg \rangle }{\Big \rangle }{\big \rangle }$
	\Big\\| \bigg\\| \Bigg\\| ... \Bigg\| \bigg\| \Big\| \big\|	${\big \\|}{\Big \\|}{\bigg \\|}{\Bigg \\|}...{\Bigg \|}{\bigg \|}{\Big \|}{\big \|}$
	\big\lfloor \Big\lfloor \bigg\lfloor \Bigg\lfloor ... \Bigg\rceil \bigg\rceil \Big\rceil \big\rceil	${\big \lfloor }{\Big \lfloor }{\bigg \lfloor }{\Bigg \lfloor }...{\Bigg \rceil }{\bigg \rceil }{\Big \rceil }{\big \rceil }$
	\big\uparrow \Big\uparrow \bigg\uparrow \Bigg\uparrow ... \Bigg\Downarrow \bigg\Downarrow \Big\Downarrow \big\Downarrow	${\big \uparrow }{\Big \uparrow }{\bigg \uparrow }{\Bigg \uparrow }...{\Bigg \Downarrow }{\bigg \Downarrow }{\Big \Downarrow }{\big \Downarrow }$

Dấu cách

Ý nghĩa	Mã	Thể hiện
Cách kép	a \qquad b	$a\qquad b$
Cách đơn	a \quad b	$a\quad b$
Cách ký tự	a\ b	$a\ b$
Cách ký tự, không chuyển sang PNG	a \mbox{ } b	$a{\mbox{ }}b$
Cách dài	a\;b	$a\;b$
Cách vừa	a\>b	[không hỗ trợ]
Cách ngắn	a\,b	$a\,b$
Không cách	ab	$ab\,$
Cách âm	a\!b	$a\!b$

Gióng hàng với chữ

Nói chung công thức như $\int _{-N}^{N}e^{x}\,dx$ nằm giữa dòng chữ sẽ được thể hiện tương đối tốt, nhờ cài đặt mặc định của phần mềm.

Nếu muốn chỉnh lại, dùng <font style="vertical-align:-100%;"><math>...</math></font> và thay đổi giá trị của biến vertical-align cho đến khi vừa ý; tuy nhiên, kết quả thể hiện có thể thay đổi tùy trình duyệt mạng.

Bắt thể hiện bằng hình PNG

Để bắt phần mềm thể hiện công thức bằng hình PNG, thay vì HTML cho trường hợp đơn giản, thêm \, vào cuối công thức hoặc \,\! vào bất cứ chỗ nào của công thức. Ví dụ:

Mã	Thể hiện
a^{c+2}	$a^{c+2}$
a^{c+2} \,	$a^{c+2}\,$
a^{\,\!c+2}	$a^{\,\!c+2}$
a^{b^{c+2}}	$a^{b^{c+2}}$ (Sai nếu lựa chọn cá nhân "Viết công thức toán học bằng HTML nếu có thể"!)
a^{b^{c+2}} \,	$a^{b^{c+2}}\,$ (Sai nếu lựa chọn cá nhân "Viết công thức toán học bằng HTML nếu có thể"!)
a^{b^{c+2}}\approx 5	$a^{b^{c+2}}\approx 5$ (không cần "\,\!")
a^{b^{\,\!c+2}}	$a^{b^{\,\!c+2}}$
\int_{-N}^{N} e^x\, dx	$\int _{-N}^{N}e^{x}\,dx$
\int_{-N}^{N} e^x\, dx \,	$\int _{-N}^{N}e^{x}\,dx\,$
\int_{-N}^{N} e^x\, dx \,\!	$\int _{-N}^{N}e^{x}\,dx\,\!$

Có thể thêm chú thích để người khác đừng thay đổi:

Ví dụ

$\ ax^{2}+bx+c=0$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$\left(3-x\right)\times \left({\frac {2}{3-x}}\right)=\left(3-x\right)\times \left({\frac {3}{2-x}}\right)$

$2=\left({\frac {\left(3-x\right)\times 3}{2-x}}\right)$

$4-2x=9-3x\!$

$-2x+3x=9-4\!$

$\int _{a}^{x}\int _{a}^{s}f(y)\,dy\,ds=\int _{a}^{x}f(y)(x-y)\,dy\,$

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m^{2}\,n}{3^{m}\left(m\,3^{n}+n\,3^{m}\right)}}$

$u''+p(x)u'+q(x)u=f(x),\,\,\,x>a$

$|{\bar {z}}|=|z|,|({\bar {z}})^{n}|=|z|^{n},arg(z^{n})=n\,arg(z)\,$

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})\,$

$\phi _{n}(\kappa )={\frac {1}{4\pi ^{2}\kappa ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\kappa R)}{\kappa R}}{\frac {\partial }{\partial R}}\left[R^{2}{\frac {\partial D_{n}(R)}{\partial R}}\right]\,dR\,$

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\sin(x)\,dx=2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {\alpha }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha }{2}})}}\,$

$\phi _{n}(\kappa )=0.033C_{n}^{2}\kappa ^{-11/3},\,\,\,{\frac {1}{L_{0}}}<\!\!<\kappa <\!\!<{\frac {1}{l_{0}}}\,$

$f(x)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos({2n\pi x \over T})+b_{n}\sin({2n\pi x \over T})\,$

$f(x)={\begin{cases}1&-1\leq x<0\\{\frac {1}{2}}&x=0\\x&0<x\leq 1\end{cases}}$

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt\,$

$J_{p}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+p}}{k!\Gamma (k+p+1)}}\,$

${}_{p}F_{q}(a_{1},...,a_{p};c_{1},...,c_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdot \cdot \cdot (a_{p})_{n}}{(c_{1})_{n}\cdot \cdot \cdot (c_{q})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n),n>0\,$

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {-lnx}}}dx\,$

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}t^{x-1}\,dt,\,\,\,s>0\,$

$B(u)=\sum _{k=0}^{N}{P_{k}}{N! \over k!(N-k)!}{u^{k}}(1-u)^{N-k}\,$

$u(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(\xi )\left[g(|x+\xi |,y)+g(|x-\xi |,y)\right]\,d\xi \,$