Sách toán/Hàm số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

$y=2x+5$

Tính chất

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

Mọi hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}$ $f(r,\theta )$ . $Z\angle \theta ={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn (Even function)	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ (Odd function)	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)	$f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}$	$sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}$
Hàm số trong hàm số (Composite function)	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)	$Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)$

Công thức toán của hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+Z(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	$({\frac {Z}{Z}})^{2}=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số lượng giác	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$ $sec\theta ={\frac {1}{X}}$ $csc\theta ={\frac {1}{Y}}$ $tan\theta ={\frac {Y}{X}}$ $cot\theta ={\frac {X}{Y}}$

Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_{0}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}$

$f^{'}(0)=a_{1}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}$

$f^{''}(0)=2a_{2}$

$a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}$

$f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}$

$a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thế $a_{0},a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\sin(x)$	$f^{''}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$

• $f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=\cos(0)=1$
$f^{'}(x)=-\sin(x)$	$f^{'}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}$

Đồ thị hàm số

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

Đồ Thị điểm XY

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm XY		Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8 $X=Rcos\theta$ $Y=Rsin\theta$

Đồ Thị điểm Rθ

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm Rθ		Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ $R^{2}=X^{2}+Y^{2}$ $Tan\theta ={\frac {Y}{X}}$

Đồ thị hàm số

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

$y=x$

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x	-2	-1	0	1	2
y = x	-2	-1	0	1	2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Đồ thị của các hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Đồ thị
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+a(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$ . với $x_{o}=0,y_{o}=b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số lượng giác cos	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$
Hàm số lượng giác sin	$cos\theta ={\frac {Y}{Z}}$
Hàm số lượng giác sec	$cos\theta ={\frac {1}{X}}$
Hàm số lượng giác csc	$cos\theta ={\frac {1}{Y}}$
Hàm số lượng giác tan	$cos\theta ={\frac {Y}{X}}$
Hàm số lượng giác cot	$cos\theta ={\frac {X}{Y}}$

Line

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation $$\varphi =\gamma ,$$ where $\gamma$ is the angle of elevation of the line; that is, $\varphi =\arctan m$, where $m$ is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line $\varphi =\gamma$ perpendicularly at the point $(r_{0},\gamma )$ has the equation $$r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).$$

Otherwise stated $(r_{0},\gamma )$ is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius $r_{0}$

Circle

A circle with equation r(φ) = 1

The general equation for a circle with a center at $(r_{0},\gamma )$ and radius a is $$r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.$$

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation $$r(\varphi )=a$$ for a circle with a center at the pole and radius a.

When r₀ = a or the origin lies on the circle, the equation becomes $$r=2a\cos(\varphi -\gamma ).$$

In the general case, the equation can be solved for r, giving $$r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}$$ The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Polar rose

A polar rose with equation r(φ) = 2 sin 4φ

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation, $$r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)$$

for any constant γ₀ (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ₀ can be regarded as a phase angle.

Archimedean spiral

One arm of an Archimedean spiral with equation r(φ) = φ / 2π for 0 < φ < 6πpi

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation $$r(\varphi )=a+b\varphi .$$ Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for φ > 0 and one for φ < 0. The two arms are smoothly connected at the pole. If a = 0, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Conic sections

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by: $$r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}$$ where e is the eccentricity and $\ell$ is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1, this equation defines a hyperbola; if e = 1, it defines a parabola; and if e < 1, it defines an ellipse. The special case e = 0 of the latter results in a circle of the radius $\ell$.

Intersection of two polar curves

The graphs of two polar functions $r=f(\theta )$ and $r=g(\theta )$ have possible intersections of three types:

1. In the origin, if the equations $f(\theta )=0$ and $g(\theta )=0$ have at least one solution each.
2. All the points $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ where $\theta _{i}$ are solutions to the equation $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ where $k$ is an integer.
3. All the points $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ where $\theta _{i}$ are solutions to the equation $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ where $k$ is an integer.

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-x$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

Đạo hàm

v

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Tích phân

Loại tích phân	Hình	Công thức
Tích phân xác định		$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
Tích phân bất định		$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$