Đối với một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar và một số nguyên không âm bất kỳ Bản mẫu:Mvar, công thức định lý đa thức mô tả khai triển của tổng với Bản mẫu:Mvar số hạng khi nâng lên một lũy thừa bất kỳ Bản mẫu:Mvar:
Điều này có thể tính được bằng tay, sử dụng tính chất phân phối của phép nhân cho phép cộng, nhưng nó cũng có thể được thực hiện (và có thể dễ dàng hơn) với định lý đa thức. Có thể "tính nhẩm" các hệ số đa thức từ các số hạng nhờ công thức hệ số đa thức. Ví dụ, số hạng:
Đầu tiên, với m = 1, hai vế đều bằng xBản mẫu:Sup do chỉ có một số hạng với k = n trong tổng. Đối với bước quy nạp, giả sử định lý đa thức đúng với Bản mẫu:Mvar. Khi đó:
bởi giả thiết quy nạp. Áp dụng định lý đa thức cho thừa số cuối,
từ đây hoàn thành quy nạp. Bước cuối cùng có được là do
có thể dễ dàng thấy được bằng cách viết ba hệ số trên với giai thừa như sau:
xuất hiện trong định lý được gọi là các hệ số đa thức. Chúng có thể được biểu diễn bằng nhiều cách, bao gồm một tích của các hệ số nhị thức hoặc giai thừa:
Các hệ số đa thức có ý nghĩa toán học tổ hợp trực tiếp, là số cách để sắp xếp Bản mẫu:Mvar vật thể phân biệt vào Bản mẫu:Mvar ngăn phân biệt, với k vật trong ngăn thứ nhất, k vật trong ngăn thứ hai, và tiếp tục vậy đến k. Nó cũng là số các hoán vị của một chuỗi với độ dài gồm Bản mẫu:Mvar ký tự và mỗi ký tự phân biệt thứ i tới Bản mẫu:Mvar xuất hiện tới đúng k lần.
Số các hoán vị được thiết lập bằng cách:
Chọn k trong tổng số Bản mẫu:Mvar vật để cho vào ngăn 1 (hay chọn k trong Bản mẫu:Mvar vị trí trong chuỗi để điền vào ký tự thứ nhất). Có thể thực hiện điều này với cách.
Trong số n − k vật còn lại chọn k vật để cho vào ngăn 2. Số cách thực hiện là .
Trong số n − k − k vật còn lại chọn k vật cho vào ngăn 3. Tuơng tự, số cách thực hiện là .
Thay các x = 1 đối với mọi Bản mẫu:Mvar vào định lý đa thức
cho thấy ngay
Đây cũng là tổng số các hoán vị của một chuỗi độ dài Bản mẫu:Mvar, trong đó mỗi trong số Bản mẫu:Mvar ký tự phân biệt có thể xuất hiện với số lần bất kỳ tới Bản mẫu:Mvar.
Ta có thể sử dụng định lý đa thức để tổng quát hóa tam giác Pascal của hệ số nhị thức thành hình chóp Pascal (đối với tam thức) hay đơn hình Pascal (đối với đa thức). Điều này cho phép cách lập nhanh một bảng tra cứu cho các hệ số đa thức.