Sách toán/Đạo hàm

Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - x_o càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)

Tính chất

Ký hiệu

Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau

Ký hiệu Chuẩn	Ký hiệu Leibitz
${\frac {d}{dx}}f(x)$	$f^{'}(x)$

Phép toán

Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Với

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-(x)$

Biến số hàm số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}$

Tổng biến số hàm số

$\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Giới hạn tổng biến số hàm số

$\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Đạo hàm hàm số

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Công thức toán đạo hàm

Hàm số , f(x)	Đạo hàm hàm số f'(x)	Giá trị
Đạo hàm hằng số	${\frac {d}{dx}}c$	$0$
Đạo hàm tích hằng số với biến số	${\frac {d}{dx}}cx$	$c$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}cx^{n}$	$cnx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}x^{n}$	$nx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa e	${\frac {d}{dx}}e^{x}$	${\frac {d}{dx}}e^{x}$
Đạo hàm lũy thừa n	${\frac {d}{dx}}n^{x}$	${\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn$
Đạo hàm Ln	${\frac {d}{dx}}Lnx$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}$
	$\cos x$	$-\sin x$
	$\sin x$	$\cos x$
	$\tan x$	$\sec ^{2}x$
	$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
	$\sec x$	$\sec x\tan x$
	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
	$\cos ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sin ^{-1}x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\tan ^{-1}x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
	$\cot ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sec ^{-1}x$	${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\csc ^{-1}x$	$-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\sinh x$	$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
	$\cosh x$	$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
	$\tanh x$	${\operatorname {sech} ^{2}\,x}$
	$\operatorname {sech} \,x$	$-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$
	$\operatorname {csch} \,x$	$-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$
	$\operatorname {coth} \,x$	$-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$
	$\operatorname {arsinh} \,x$	${1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
	$\operatorname {arcosh} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
	$\operatorname {artanh} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$
	$\operatorname {arsech} \,x$	$-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcsch} \,x$	$-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcoth} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$

Quy luật toán đạo hàm

Quy luật toán đạo ham	Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số	$(f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm hiệu 2 hàm số	$(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm tích 2 hàm số	$(fg)'=f'g+fg'.\,$	${\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm thương 2 hàm số	$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$	${\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}$
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số	$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$
Đạo hàm Ln	$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$	${\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}$
Đạo hàm hàm số phức	$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,$
Đạo hàm hàm số nghịch	$({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)$
Đạo hàm hàm số ngược	$g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,$
Đạo hàm hàm số kép	${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$	${\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}$

Hoán chuyển đạo hàm

Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau

Hoán chuyển	Ký hiệu	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
Toán Đạo hàm	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
Toán Đạo hàm hàm số	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Ứng dụng toán đạo hàm

Chuyển động

Chuyển động cong v(t)

$v=v(t)$

$a={\frac {d}{dt}}v(t)$

Chuyển động cong s(t)

$s=s(t)$

$v={\frac {d}{dt}}s(t)$

$a={\frac {d}{dt}}v={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Chuyển động ngang

$v=v$

$a={\frac {d}{dt}}v=0$

Chuyển động dọc

$v=t$

$a={\frac {d}{dt}}t=1$

Chuyển động nghiêng không cắt trục tung

$v=at$

$a={\frac {d}{dt}}at=a$

Chuyển động nghiêng cắt trục tung

$v=at+v_{o}$

$a={\frac {d}{dt}}(at+v_{o})=a$

Phương trình và hàm số suy giảm

Phương trình suy giảm có dạng tổng quát

$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace ta có

$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình trên cho nghiệm số

$f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$

Phương trình và hàm số sóng sin

Phương trình và hàm số sóng sin đều

Phương trình sóng sin đều có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace ta có

$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

Giải phương trình đạo hàm trên cho nghiệm số

$f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ .

Với

$\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$

$n$ ≥ 2

Phương trình sóng sin không đều

Phương trình sóng sin không đều có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace ta có

$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình trên cho nghiệm số là một hàm số sóng sin

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(x)=Ae^{sx}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ < $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ > $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$