Sách sóng

Phương trình và hàm số sóng

Phương trình và hàm số sóng Lambert

Mọi sóng đều thoả mãn một phương trình vi phân riêng phần gọi là phương trình sóng. Các phương trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trường truyền và kiểu lan truyền.

Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo phương x, theo thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.$

Ở đây, v là vận tốc lan truyền sóng. Hàm sóng tổng quát thoả mãn phương trình trên, giải bởi d'Alembert, là:

$y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)$

Một ví dụ khác về phương trình sóng là phương trình Schrödinger mô tả chuyển động của sóng hạt trong vật lý lượng tử. Nghiệm của phương trình này là hàm sóng mô tả xác suất tìm thấy hạt tại một điểm trong không-thời gian.

Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

$y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)$

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

$y(x,t)=A(x,t)\cos(\omega t-kx+\varphi ),\,$

Ở đây A(x, t) là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, k là số sóng và φ là pha ban đầu. Nếu biên độ của sóng không phụ thuộc thời gian:

$A(x,t)=A(x)$

thì sóng gọi là sóng dừng.

Tần số góc liên hệ với tần số qua:

$\omega =2\pi f$

Còn số sóng liên hệ với vận tốc lan truyền v của sóng qua:

$v={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,$

Ở đây λ là bước sóng và f là tần số. Tần số f liên hệ với chu kỳ T qua:

$f={\frac {1}{T}}$

Mọi sóng điều hoà đều có thể đặc trưng bởi biên độ, tần số, vận tốc và pha. Ngoài ra, sóng có thể được mô tả theo phương dao động.

Phương trình và hàm số sóng Sin

Với phương trình đạo hàm bậc n có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)+bf(t)=0$

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s^{n}f(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Từ trên, mọi sóng sin đều có một hương trình sóng sin và một Hàm số sóng sin

Phương trình sóng sin

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)=-\beta f(t)$

Hàm số sóng sin

$f(t)=Asin\omega t$

$\omega =n{\sqrt {\beta }}$

$\beta ={\frac {1}{T}}$

$n$ ≥ 2

Chuyển động sóng

Chuyển động sóng

Tính chất	Ký hiệu và công thức	Đơn vị
Đường dài	$s=k\lambda$	m
Thời gian	$t$	s
Vận tốc	$v={\frac {k\lambda }{t}}=k\lambda f=k\omega$	m/s
Chu kỳ Thời gian	$T={\frac {1}{t}}=f$	${\frac {1}{s}}$
Số sóng	$k={\frac {s}{\lambda }}={\frac {v}{\omega }}$	m/s
Vận tốc góc	$\omega =\lambda f={\frac {v}{k}}$	m/s
Bước sóng	$\lambda ={\frac {\omega }{f}}=\omega t={\frac {s}{k}}$
Tần số sóng	$f={\frac {\omega }{\lambda }}={\frac {v}{k\lambda }}={\frac {1}{t}}$
Phương trình sóng	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-\beta f(t)$
Hàm số sóng	$f(t)=Asin\omega t$
Vận tốc góc	$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f={\frac {s}{k}}$

Dạng sóng

Dao động sóng cơ động

Dao động sóng	Hình	Công thức	Phương trình dao động sóng	Hàm số sóng
Dao động lò xo lên xuống		$F_{a}=F_{y}$ $ma=-ky$ $a=-{\frac {k}{m}}y$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$ $y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$	$y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Dao động lò xo qua lại		$F_{a}=F_{x}$ $ma=-kx$ $a=-{\frac {k}{m}}x$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x=-{\frac {k}{m}}x$ $x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}x$	$x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Dao động con lắc đong đưa		${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$ $y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$	$y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Dao động sóng điện

Dao động sóng	Hình	Phương trình và Hàm số sóng
Sóng điện DC		$v(t)=V$
Sóng điện AC		$v^{2}(t)=-\beta v(t)$ $v(t)=Asin\omega t$ $\omega ={\sqrt {\beta }}$

Dao động sóng nhiệt điện từ

Dao động	Hình	Phương trình và Hàm số sóng
Dao động sóng điện từ		Phương trình vector dao động điện từ $\nabla \cdot E=0$ $\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$ $\nabla \cdot B=0$ $\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$ Phương trình sóng $\nabla ^{2}E=-\omega E$ $\nabla ^{2}B=-\omega B$ Hàm số sóng $E=A\sin \omega t$ $<br><math>B=A\sin \omega t$ $<br><math>\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}=C=\lambda f$ $T=\mu \epsilon$ Sóng điện từ

Nhiệt điện từ	Nhiệt	Nhiệt quang	Nhiệt điện
Lối mắc	Cộng dây thẳng dẫn điện	Cuộn tròn của N vòng tròn dẫn điện	Cuộn tròn của N vòng tròn dẫn điện với từ vật nằm trong các vòng quấn
Tần số thời gian	$f<f_{o}$	$f=f_{o}$	$f>f_{o}$
Năng lực nhiệt	$W=pv=mC\Delta T$	$W_{o}=pv=pC=hf_{o}$	$W=pv=pC=hf$
Hằng số C	$C=p{\frac {v}{m\Delta T}}$	$C={\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=\omega _{o}=\lambda _{o}f_{o}$	$C={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=\omega =\lambda f$
Khối lượng/Lượng tử	$m=p\lambda =p{\frac {C\Delta T}{v}}$	$h=p\lambda _{o}$	$h=p\lambda$
Động lượng	$p={\frac {m}{\lambda }}=m{\frac {v}{C\Delta T}}$	$p={\frac {h}{\lambda _{o}}}$	$p={\frac {h}{\lambda }}$
Bước sóng	$\lambda ={\frac {m}{p}}={\frac {C\Delta T}{v}}$	$\lambda _{o}={\frac {C}{f_{o}}}={\frac {h}{p}}$	$\lambda ={\frac {C}{f}}={\frac {h}{p}}$

Dao động sóng ánh sáng

Sóng dọc

||||||

Vận tốc

$v=\lambda f=C=3\times 10^{8}$

Bước sóng thấy được

$\lambda =400-700nm$

Dao động sóng âm thanh

Sóng dọc

|[]|[]|[]

Vận tốc

$v=\lambda f$

Tần số nghe được

$f=20Hz-20KHz$

Sóng truyền thông

Dao động sóng	Hình	Phương trình và Hàm số sóng
Sóng AM		Sóng sin bọc + Sóng sin ngắn
Sóng FM		Sóng sin dài + Sóng sin ngắn
Sóng PM		Sóng sin dài với pha sóng + Sóng sin ngắn

Phản ứng sóng

Khi sóng di chuyển đụng vật cản sẽ tạo ra các phản ứng sóng sau

Phản xạ

Sóng bị vật cản trên đường di chuyển phản hồi trở về

Khúc xạ

Khúc Xạ là một hiện tượng của Sóng thay đổi vận tốc di chuyển khi đi qua hai môi trường không đồng nhất . Thí dụ như Sóng Ánh sáng bị bẻ cong khi đi từ không khí vào nước

Nếu có một sóng di chuyển qua một môi trường ở một góc θ_i với bề mặt giủa hai môi trường không đồng nhất . Sóng sẻ bị lệch một góc độ θ_k . Nếu Sóng không bị lệch hướng θ_k = θ_i . Đường dài không bị lệch, Sin θ_i. Nếu Sóng bị lệch hướng . Đường dài bị lệch Sin θ_k . Tỉ lệ Đường dài bị lệch trên Đường dài không bị lệch cho biết Độ Lệch của sóng

Độ Lệch = n = ${\frac {sin\theta _{k}}{sin\theta _{i}}}$

• θ_k = θ_i , Sóng đi theo đường thẳng không bị lệch hướng
• θ_k ≠ θ_i , Sóng đi theo đường thẳng lệch hướng θ_k
• θ_k = 0, Sóng đi xuyên qua môi trường có hướng vuông góc với bề mặt tiếp xúc
• θ_k = 90, Sóng đi trên bề mặt tiếp xúc

Khi ánh sáng đổi hướng khi đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt có chiết suất khác nhau được tính theo công thức đặc trưng của hiện tượng khúc xạ, còn gọi là Định luật Snell hay định luật khúc xạ ánh sáng có dạng:

${\sin(i) \over \sin(r)}={n_{2} \over n_{1}}$

Với:

• i là góc giữa tia sáng đi từ môi trường 1 tới mặt phẳng phân cách và pháp tuyến của mặt phẳng phân cách hai môi trường.
• r là góc giữa tia sáng đi từ mặt phân cách ra môi trường 2 và pháp tuyến của mặt phẳng phân cách hai môi trường.
• n₁ là chiết suất môi trường 1.
• n₂ là chiết suất môi trường 2.

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{2}\mu _{2}}{\epsilon _{1}\mu _{1}}}\right)}}$

Chiết xạ

Ánh sáng màu được tìm thấy từ cầu vồng 6 màu hiện trên bầu trời sau cơn mưa.

Thí nghiệm cho thấy khi ánh sáng di chuyển qua tinh thể trong suốt như Lăng Kín sẻ tạo ra Ánh sáng màu của các màu - Đỏ, Cam, Vàng, Xanh lá, Xanh dương, Tím đây là hiện tượng Tán xạ hay Chiết xạ của ánh sáng. Khi quang tuyến nhiệt quang tương tác với lăng kín sẻ tạo ra ánh sáng màu của 6 màu Đỏ, Cam, Vàng, Xanh lá, Xanh dương, Tím. Cho thấy ánh sáng thấy được tạo ra từ ánh sáng của 6 màu.

Màu	Góc khúc xạ	Bước sóng
Đỏ
Cam
Vàng
Xanh la
Xanh dương
Tím

Khuếch xạ

Khuếch xạ là hiện tượng quan sát được khi sóng lan truyền qua khe nhỏ hoặc mép vật cản (rõ nhất với các vật cản có kích thước tương đương với bước sóng), trong đó sóng bị lệch hướng lan truyền, lan toả về mọi phía từ vị trí vật cản, và tự giao thoa với các sóng khác lan ra từ vật cản.

Hiện tượng nhiễu xạ đã được quan sát với mọi loại sóng, như âm thanh, sóng nước, sóng điện từ (như ánh sáng hay sóng radio), hay các hạt thể hiện tính chất sóng thông qua lưỡng tính sóng hạt.

Đây là hình ảnh ghi nhận được trong thí nghiệm của Young. Hình ảnh giao thoa thu dược trên màn ảnh đặt song song và sau hai khe hẹp sát gần nhau. Ảnh giao thoa thu được là các vân sáng tối xen kẽ song song nhau.

Các vạch sáng tương ứng với cực đại giao thoa (hai sóng tăng cường) là nơi thỏa mãn điều kiện:

$\!d\sin \theta _{n}=n\lambda$

Còn các vạch tối là nơi mà 2 sóng dập tắt lẫn nhau và phải thỏa mãn điều kiện:

$\!d\sin \theta _{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\lambda$

Nếu tính theo điều kiện xấp xỉ góc nhỏ thì điều kiện của vân sáng sẽ là:

${\frac {n\lambda }{d}}={\frac {x}{L}}\quad \Leftrightarrow \quad {n}{\lambda }={\frac {xd}{L}}\;,$

Ở đây:

λ là bước sóng ánh sáng,

d khoảng cách giữa hai khe,

n bậc giao thoa (n = 0 khi ở vân sáng trung tâm),

x khoảng cách từ vị trí vân sáng đến vân trung tâm,

L khoảng cách từ mặt phẳng hai khe đến màn quan sát,

θ_n tọa độ góc của điểm khảo sát.

Nhiễu xạ

Giao thoa là một hiện tượng vật lý chỉ sự chồng chập của hai hoặc nhiều sóng mà tạo ra một sóng mới Sóng giao thoa

Nguyên lý chồng chập sóng hay Nguyên lý Huygens-Fresnel (đặt theo tên của nhà vật lý người Hà Lan Christiaan Huygens, và người Pháp Augustin-Jean Fresnel), ban đầu được đưa ra trong lý thuyết sóng ánh sáng Huygens, giải thích sự lan truyền của ánh sáng như các sóng, nay được ứng dụng trong tính toán về lan truyền của sóng nói chung. Về cơ bản, nguyên lý này cho rằng mỗi điểm nằm trên đầu sóng là nguồn cho các sóng thứ cấp mới; và sự lan truyền của toàn bộ là tổng của các sóng thứ cấp đến từ mọi điểm trong môi trường mà sóng đã đi qua . Cách tiếp cận này cho phép giải thích nhiều hiện tượng quang học và hiện tượng sóng nói chung, như hiện tượng nhiễu xạ. Khi không có hiệu ứng phi tuyến, nguyên lý chồng chập được sử dụng để tiên đoán hình dạng của sóng thông qua cách cộng sóng. Tương tác giữa các sóng tạo ra các phần "giao thoa", như giao thoa tăng cường hoặc giao thoa triệt tiêu.

theo nguyên lý này

• Nếu hai sóng có cùng bước sóng và tần số trong trạng thái cùng pha, cả đỉnh sóng và bụng sóng của mỗi sóng sẽ khớp với nhau. Kết quả này dẫn tới giao thoa tăng cường làm tăng biên độ của sóng, mà đối với ánh sáng sẽ là sự sáng lên của cường độ tại vị trí đó.

• Nếu hai sóng có cùng bước sóng và tần số những ngược pha nhau, thì đỉnh sóng của sóng này khớp với bụng sóng của sóng kia và ngược lại. Kết quả là giao thoa triệt tiêu và giảm biên độ sóng, mà đối với ánh sáng sẽ là sự mờ đi của cường độ tại vị trí