Sách lượng giác/Phương trình lượng giác

Đẳng thức Tổng và hiệu của 2 góc

Xem thêm Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

${\rm {c\imath s}}(x+y)={\rm {c\imath s}}(x)\,{\rm {c\imath s}}(y)$

${\rm {c\imath s}}(x-y)={{\rm {c\imath s}}(x) \over {\rm {c\imath s}}(y)}$

với

${\rm {c\imath s}}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath \sin(x)\,$

và

$\imath ={\sqrt {-1}}.\,$

Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos²(x) và sin²(x), thu được:

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {23\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {32\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$

Cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) Sin(3x) = -4sin^3(x) + 3sin(x)

Đẳng thức Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;$

1. Đẳng thức Biển tổng thành tích

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$

$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x>0\\-\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x<0\end{matrix}}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\;$

$\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)\;$

$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

Đẳng thức Dạng số phức

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$

với $i^{2}=-1.\,$

Đẳng thức Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

1. Đẳng thức số

Đẳng thức giới hạn

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0,$

${d \over dx}\sin(x)=\cos(x)$

Đẳng thức đạo hàm

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

${d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)$

${d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$

${d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Đẳng thức Thường Dùng

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Đẳng thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Tổng quát

Nếu T_n là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet D_n(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

Các Hàm lượng giác nghịch đảo

Chuổi Số

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hay cos⁻¹ thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

${\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccsc} z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

$\arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R}$

$\operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0$

$\operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

$\operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

Số Phức

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

$\arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)$

$\arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$

$\arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)$