Sách lượng giác/Công thức góc lượng giác

Công thức góc Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,$	$\sin(-x)=-\sin(x)\,$	$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,$	$\cos(-x)=\;\cos(x)\,$	$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\tan(x)=\tan(x+k\pi )\,$	$\tan(-x)=-\tan(x)\,$	$\tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
	$\cot(-x)=-\cot(x)\,$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )$

với

$\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;$

Công thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}$

$={\sin x \over 1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}$

$={1-\cos x \over \sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.$

Nếu

$t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),$

thì:

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

and

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

and

$e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;$

Công thức lũy thừa của góc

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {2\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$