Số đại số
sửa
Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây
Loai số loại số
Ký hiệu
Thí dụ
Số tự nhiên
N
{\displaystyle N}
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số chẳn
2
N
{\displaystyle 2N}
2
,
4
,
6
,
8
{\displaystyle 2,4,6,8}
Số lẻ
2
N
+
1
{\displaystyle 2N+1}
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Số nguyên tố
P
{\displaystyle P}
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Phân số
c
=
a
b
{\displaystyle c={\frac {a}{b}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Số thập phân
a
=
0.
a
b
c
d
{\displaystyle a=0.abcd}
0.
a
b
c
d
{\displaystyle 0.abcd}
Số hửu tỉ
a
=
0.
a
a
a
a
a
a
{\displaystyle a=0.aaaaaa}
0.33333
{\displaystyle 0.33333}
Số vô tỉ
a
=
0.
a
b
c
d
e
f
{\displaystyle a=0.abcdef}
0.1345
{\displaystyle 0.1345}
Số nguyên
I
=
+
I
,
0
,
−
I
{\displaystyle I=+I,0,-I}
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
,
−
5
,
−
6
,
−
7
,
−
8
,
−
9
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số phức
Z
=
a
±
j
b
{\displaystyle Z=a\pm jb}
Z
=
2
±
j
3
{\displaystyle Z=2\pm j3}
Số thực
a
{\displaystyle a}
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số ảo
j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
j
5
{\displaystyle j5}
Phép toán đại số
sửa
Toán
Ký Hiệu
Công Thức
Định Nghỉa
Toán cộng
+
{\displaystyle +}
A
+
B
{\displaystyle A+B}
Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ
−
{\displaystyle -}
A
−
B
{\displaystyle A-B}
Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân
x
{\displaystyle x}
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
Toán Nhân hai số đại số
Toán chia
/
{\displaystyle /}
A
/
B
{\displaystyle A/B}
Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...}
Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn
{\displaystyle {\sqrt {}}}
a
=
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}=b}
nếu có
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
Toán lủy thừa nghịch
Toán log
L
o
g
,
L
n
{\displaystyle Log,Ln}
L
o
g
a
=
b
{\displaystyle Loga=b}
Nếu có
10
b
=
a
{\displaystyle 10^{b}=a}
Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa
Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu
N
{\displaystyle N}
. Thí dụ
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có
Ký hiệu
2
N
{\displaystyle 2N}
.
Thí dụ
2
,
4
,
6
,
8
{\displaystyle 2,4,6,8}
Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có
Ký hiệu
2
N
+
1
{\displaystyle 2N+1}
.
Thí dụ
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có
Ký hiệu
P
{\displaystyle P}
.
Thí dụ
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Ký hiệu
sửa
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
Thí dụ
sửa
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Lối dùng phân số
sửa
Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng
sửa
Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác
Thí dụ
1 phần 2 cái bánh được viết là
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1 phần 3 cái bánh được viết là
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1 phần n cái bánh được viết là
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
Khi so sánh 2 đại lượng đại số
a
b
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=1}
khi
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
b
>
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>1}
khi
a
>
b
{\displaystyle a>b}
a
b
<
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<1}
khi
a
<
b
{\displaystyle a<b}
Biểu diển phép tóan chia
sửa
a
b
=
a
/
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=a/b}
Khi chia hết, được một thương só và không có số dư
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
. Sao cho
a
c
=
b
{\displaystyle ac=b}
. r = 0
Khi không chia hết , được một thương só và có số dư
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
. Sao cho
a
c
+
r
=
b
{\displaystyle ac+r=b}
. r≠0
Số thập phân, số có dạng 0.abcd
1
2
=
0.5
{\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.5}
1
4
=
0.25
{\displaystyle {\frac {1}{4}}=0.25}
1
8
=
0.125
{\displaystyle {\frac {1}{8}}=0.125}
Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại
1
3
=
0.333333...
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333...}
Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại
π
=
3.1415...
{\displaystyle \pi =3.1415...}
Loại phân số
sửa
Hỗn số
sửa
Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 .
Thí dụ
a
b
c
{\displaystyle a{\frac {b}{c}}}
.
Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau
a
b
c
=
a
+
b
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle a{\frac {b}{c}}=a+{\frac {b}{c}}={\frac {ac+b}{c}}}
Phân số tối giản
sửa
Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .
Thí dụ, phân số tối giản
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
của các phân số sau
2
4
{\displaystyle {\frac {2}{4}}}
,
5
10
{\displaystyle {\frac {5}{10}}}
Phép toán phân số
sửa
Phép toán chia hết
Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
. Vậy
a
=
b
c
{\displaystyle a=bc}
a không chia hết cho b khi
a
b
=
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}
. Vậy
a
=
b
c
+
r
{\displaystyle a=bc+r}
So sánh phân số
Với hai phân số
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
và
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
Hai phân số bằng nhau khi
a
=
c
{\displaystyle a=c}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
Hay
a
d
b
d
=
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}}
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
Hai phân số không bằng nhau khi
a
b
>
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}}
a
b
<
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}
Toán cộng , trừ, nhân, chia
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
a
b
−
c
d
=
a
d
−
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}
a
b
×
c
d
=
a
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
a
b
/
c
d
=
a
b
×
d
c
=
a
d
b
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}
Mọi số tự nhiên có giá trị bằng không được gọi là số nguyên không, lớn hơn không được gọi là số nguyên dương , nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm
Ký hiệu
sửa
Số nguyên
Số nguyên dương
Số nguyên không
Số nguyên âm
I
+I>0
I=0
-I <0
Thí dụ
sửa
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
,
−
5
,
−
6
,
−
7
,
−
8
,
−
9
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Phép toán số nguyên
sửa
Toán cộng
0
+
±
a
=
±
a
{\displaystyle 0+\pm a=\pm a}
Toán trừ
0
−
±
a
=
∓
a
{\displaystyle 0-\pm a=\mp a}
Toán nhân
0
×
±
a
=
0
{\displaystyle 0\times \pm a=0}
toán chia
0
/
±
a
=
0
{\displaystyle 0/\pm a=0}
Số nguyên dương
sửa
Toán cộng
a
+
a
=
2
a
{\displaystyle a+a=2a}
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
Toán trừ
a
−
a
=
0
{\displaystyle a-a=0}
a
−
0
=
a
{\displaystyle a-0=a}
Toán nhân
a
×
a
=
a
2
{\displaystyle a\times a=a^{2}}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
a
×
0
=
0
{\displaystyle a\times 0=0}
Toán chia
a
/
a
=
1
{\displaystyle a/a=1}
a
/
1
=
a
{\displaystyle a/1=a}
a
/
0
=
00
{\displaystyle a/0=00}
Toán lũy thừa
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...}
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
a
1
n
=
n
a
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}}
Toán căn
n
a
=
a
1
n
{\displaystyle n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}}
0
=
E
r
r
o
r
{\displaystyle {\sqrt {0}}=Error}
1
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}
−
1
=
j
{\displaystyle {\sqrt {-1}}=j}
a
n
m
=
a
m
n
=
a
1
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
a
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}}
=
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{b}}}
a
a
=
a
2
×
a
=
a
3
{\displaystyle a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}}
a
n
=
a
a
n
−
2
{\displaystyle {\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}}
Toán Log
L
o
g
10
n
=
n
{\displaystyle Log10^{n}=n}
log
b
(
a
c
)
=
log
b
(
a
)
+
log
b
(
c
)
{\displaystyle \log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)\ }
log
b
(
a
/
c
)
=
log
b
(
a
)
−
log
b
(
c
)
{\displaystyle \log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)\ }
log
b
(
b
a
)
=
a
{\displaystyle \log _{b}(b^{a})=a\ }
log
b
(
a
)
=
log
d
(
a
)
log
d
(
b
)
{\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}}
for any
d
>
0
,
d
<>
1
{\displaystyle d>0,d<>1}
log
b
(
y
a
)
=
a
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)\ }
Số nguyên âm
sửa
Toán cộng
−
a
+
(
−
a
)
=
−
2
a
{\displaystyle -a+(-a)=-2a}
−
a
+
0
=
−
a
{\displaystyle -a+0=-a}
Toán cộng
−
a
−
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle -a-(-a)=0}
−
a
−
0
=
−
a
{\displaystyle -a-0=-a}
Toán nhân
−
a
×
(
−
a
)
=
a
2
{\displaystyle -a\times (-a)=a^{2}}
−
a
×
1
=
−
a
{\displaystyle -a\times 1=-a}
−
a
×
0
=
0
{\displaystyle -a\times 0=0}
Toán chia
−
a
/
(
−
a
)
=
1
{\displaystyle -a/(-a)=1}
−
a
/
1
=
−
a
{\displaystyle -a/1=-a}
−
a
/
0
=
00
{\displaystyle -a/0=00}
Toán lũy thừa
(
−
a
)
0
=
1
{\displaystyle (-a)^{0}=1}
(
−
a
)
n
=
−
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=-a^{n}}
Vói
n
=
2
m
+
1
{\displaystyle n=2m+1}
(
−
a
)
n
=
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=a^{n}}
Với
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
Toán căn
−
a
=
±
j
a
{\displaystyle {\sqrt {-a}}=\pm j{\sqrt {a}}}
Dải số
sửa
Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ
Dải số của các số tự nhiên .
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
.
.
.
.
,
n
{\displaystyle 1,2,3,4,5,....,n}
Dải số của các số tự nhiên chẳn .
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
.
.
.
,
2
n
{\displaystyle 2,4,6,8,10,...,2n}
Dải số của các số tự nhiên lẻ .
1
,
3
,
5
,
7
,
.
.
.
,
2
n
+
1
{\displaystyle 1,3,5,7,...,2n+1}
Tổng dải số
sửa
Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau
s
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
{\displaystyle s=1+2+3+...+n}
Tổng dải số có ký hiệu
∑
{\displaystyle \sum }
Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
=
1
+
2
+
⋯
+
n
=
k
(
1
+
n
)
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=k(1+n)}
.
Tổng chuổi số cấp số cộng
sửa
Dạng tổng quát
sửa
Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]}
Chứng minh
sửa
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
n
2
(
2
a
+
(
n
−
1
)
d
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)}
S
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]}
S
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
d
]
+
a
{\displaystyle S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a}
2
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
{\displaystyle 2S=[2a+(n-1)d]n}
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
2
{\displaystyle S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}}
Thí dụ
sửa
Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát
1
,
2
,
3
,
.
.
.9
{\displaystyle 1,2,3,...9}
Tổng số của dải số
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
.
.
.9
=
50
{\displaystyle 1+2+3+4+5+...9=50}
Cách giải
S
=
(
1
+
9
)
+
(
2
+
8
)
+
(
3
+
7
)
+
(
4
+
6
)
+
(
5
+
5
)
=
10
(
5
)
=
50
{\displaystyle S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50}
Tổng chuổi số cấp số nhân
sửa
Dạng tổng quát
sửa
Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})}
Chứng minh
sửa
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
r
S
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}}
S
−
r
S
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle S-rS=a-ar^{n}}
S
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}
với
n
<
1
{\displaystyle n<1}
Thí dụ
sửa
1
+
1.1
+
1.1
2
+
1.1
3
=
4
{\displaystyle 1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4}
1
+
1.2
+
1.2
2
+
1.2
3
=
1
+
2
+
4
+
8
=
15
{\displaystyle 1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15}
Tổng chuổi số Pascal
sửa
Dạng tổng quát
sửa
(
x
+
y
)
n
{\displaystyle (x+y)^{n}}
Công thức tổng quát
sửa
Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng
(
x
+
y
)
n
=
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
x
r
y
n
−
r
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}}
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
0
y
n
+
(
n
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
n
)
x
n
y
0
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}}
(
x
+
y
)
n
=
y
n
+
n
x
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
n
x
n
−
1
y
+
x
n
{\displaystyle (x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}}
Với
(
n
r
)
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
{\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}
Thí dụ
sửa
(
x
+
1
)
1
=
{\displaystyle (x+1)^{1}=}
1
x
+
1
{\displaystyle 1x+1}
(
x
+
1
)
2
=
{\displaystyle (x+1)^{2}=}
1
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle 1x^{2}+2x+1}
(
x
+
1
)
3
=
{\displaystyle (x+1)^{3}=}
1
x
3
+
3
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle 1x^{3}+3x^{2}+3x+1}
(
x
+
1
)
4
=
{\displaystyle (x+1)^{4}=}
1
x
4
+
4
x
3
+
6
x
2
+
4
x
+
1
{\displaystyle 1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1}
(
x
+
1
)
5
=
{\displaystyle (x+1)^{5}=}
1
x
5
+
5
x
4
+
10
x
3
+
10
x
2
+
5
x
+
1
{\displaystyle 1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1}
Hằng số trước biến số x
sửa
Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Tổng chuổi số Taylor
sửa
Dạng tổng quát
sửa
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
Tổng chuổi số Fourier
sửa
Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau
s
N
(
x
)
=
a
0
⏞
A
0
/
2
+
∑
n
=
1
N
(
a
n
⏞
A
n
sin
(
ϕ
n
)
cos
(
2
π
n
x
P
)
+
b
n
⏞
A
n
cos
(
ϕ
n
)
sin
(
2
π
n
x
P
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{N}(x)&=\overbrace {a_{0}} ^{A_{0}}/2+\sum _{n=1}^{N}\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right),\\\end{aligned}}}
Với
a
0
=
A
0
a
n
=
A
n
sin
(
ϕ
n
)
for
n
≥
1
b
n
=
A
n
cos
(
ϕ
n
)
for
n
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=A_{0}\\a_{n}&=A_{n}\sin(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\\b_{n}&=A_{n}\cos(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}
Giá trị hằng số a,b
a
n
=
2
P
∫
x
0
x
0
+
P
s
(
x
)
⋅
cos
(
2
π
n
x
P
)
d
x
for
n
≥
0
b
n
=
2
P
∫
x
0
x
0
+
P
s
(
x
)
⋅
sin
(
2
π
n
x
P
)
d
x
for
n
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n\geq 0\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n>0\end{aligned}}}
Dạng tổng của lũy thừa
sửa
s
N
(
x
)
=
∑
n
=
−
N
N
c
n
⋅
e
i
2
π
n
x
P
,
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{N}(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}},\end{aligned}}}
Với
c
n
≜
{
A
n
2
i
e
i
ϕ
n
=
1
2
(
a
n
−
i
b
n
)
for
n
>
0
1
2
A
0
=
1
2
a
0
for
n
=
0
−
A
−
n
2
i
e
−
i
ϕ
−
n
=
1
2
(
a
−
n
+
i
b
−
n
)
=
c
|
n
|
∗
for
n
<
0.
{\displaystyle c_{n}\ \triangleq \ {\begin{cases}{\frac {A_{n}}{2i}}e^{i\phi _{n}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{for }}n>0\\{\frac {1}{2}}A_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}&{\text{for }}n=0\\{\frac {-A_{-n}}{2i}}e^{-i\phi _{-n}}={\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})=c_{|n|}^{*}&{\text{for }}n<0.\end{cases}}}
Giá trị hằng số c
c
n
=
1
P
∫
x
0
x
0
+
P
s
(
x
)
⋅
e
−
i
2
π
n
x
P
d
x
for
n
∈
N
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\quad {\text{for }}n\in \mathbb {N} }
Chứng minh
sửa
Ứng dụng
sửa
Sóng vuông
Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine
s
N
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
n
=
1
N
A
n
⋅
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
,
for integer
N
≥
1.
{\displaystyle s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.}
Tích dải số
sửa
Biểu thức đại số
sửa
Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng , các ngoặc đơn kép cùng với các phép toán đại số . Thí dụ
(
2
x
+
3
y
)
+
6
x
/
2
{\displaystyle (2x+3y)+6x/2}
Với
Đơn thức đại số .
2
x
,
3
y
,
6
x
,
2
{\displaystyle 2x,3y,6x,2}
Dấu ngoặc đơn . ()
Toán đại số . +, /
Loại Biểu thức đại số
sửa
Đẳng thức đại số
sửa
Thí dụ
(
2
x
+
3
y
)
=
6
x
/
2
{\displaystyle (2x+3y)=6x/2}
Bình phương tổng 2 số đại số
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Bình phương hiệu 2 số đại số
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
a
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Tổng 2 bình phương ||
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab}
a
2
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
+
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab}
Hiệu 2 bình phương
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Tổng 2 lập phương
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
Hiệu 2 lập phương
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
Bất đẳng thức đại số
sửa
Thí dụ
(
2
x
+
3
y
)
>
6
x
/
2
{\displaystyle (2x+3y)>6x/2}
(
2
x
+
3
y
)
<
6
x
/
2
{\displaystyle (2x+3y)<6x/2}
Phép toán biểu thức đại số
sửa
Hàm số
sửa
Loại hàm số
sửa
Dạng hàm số
Công thức
Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)
f
(
x
)
=
f
(
x
+
T
)
{\displaystyle f(x)=f(x+T)}
s
i
n
x
=
s
i
n
(
x
+
k
2
π
)
{\displaystyle sinx=sin(x+k2\pi )}
Hàm số chẳn (Even function)
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
y
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle y(x)=|x|}
Hàm số lẽ (Odd function)
f
(
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)=-f(x)}
y
(
x
)
=
−
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)=-y(x)}
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)
f
−
1
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}}
s
i
n
−
1
x
=
1
s
i
n
x
{\displaystyle sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}}
Hàm số trong hàm số (Composite function)
f
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=f(g(x))}
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)
Q
(
x
)
=
N
(
x
)
M
(
x
)
−
R
(
x
)
{\displaystyle Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)}
Công thức toán của hàm số
sửa
Dạng hàm số
Công thức
Thí dụ
Hàm số đường thẳng
Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ
y
=
y
o
+
Z
(
x
−
x
o
)
{\displaystyle y=y_{o}+Z(x-x_{o})}
Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
Hàm số vòng tròn
Hàm số vòng tròn Z đơn vị
Z
2
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}}
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị
(
Z
Z
)
2
=
(
X
Z
)
2
+
(
Y
Z
)
2
{\displaystyle ({\frac {Z}{Z}})^{2}=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}}
1
=
c
o
s
2
+
s
i
n
2
{\displaystyle 1=cos^{2}+sin^{2}}
1
=
s
e
c
2
+
t
a
n
2
{\displaystyle 1=sec^{2}+tan^{2}}
1
=
c
s
c
2
+
c
o
t
2
{\displaystyle 1=csc^{2}+cot^{2}}
Hàm số lũy thừa Power function
y
=
a
x
n
{\displaystyle y=ax^{n}}
Hàm số Lô ga rít
y
(
x
)
=
L
o
g
x
{\displaystyle y(x)=Logx}
Hàm số lượng giác
c
o
s
θ
=
X
Z
{\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Z}}}
s
e
c
θ
=
1
X
{\displaystyle sec\theta ={\frac {1}{X}}}
c
s
c
θ
=
1
Y
{\displaystyle csc\theta ={\frac {1}{Y}}}
t
a
n
θ
=
Y
X
{\displaystyle tan\theta ={\frac {Y}{X}}}
c
o
t
θ
=
X
Y
{\displaystyle cot\theta ={\frac {X}{Y}}}
Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa
sửa
Đồ thị hàm số
sửa
Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ
Đồ Thị điểm XY
sửa
Đồ Thị điểm Rθ
sửa
Đồ thị hàm số
sửa
Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y
x
-2
-1
0
1
2
y = x
-2
-1
0
1
2
Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1
Đồ thị của các hàm số cơ bản
Dạng hàm số
Công thức
Đồ thị
Hàm số đường thẳng
Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ
y
=
y
o
+
a
(
x
−
x
o
)
{\displaystyle y=y_{o}+a(x-x_{o})}
Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
. với
x
o
=
0
,
y
o
=
b
{\displaystyle x_{o}=0,y_{o}=b}
Hàm số vòng tròn
Hàm số vòng tròn Z đơn vị
Z
2
=
X
2
+
Y
2
{\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}}
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị
Z
Z
2
=
X
Z
2
+
Y
Z
2
{\displaystyle {\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}}
1
=
c
o
s
2
+
s
i
n
2
{\displaystyle 1=cos^{2}+sin^{2}}
1
=
s
e
c
2
+
t
a
n
2
{\displaystyle 1=sec^{2}+tan^{2}}
1
=
c
s
c
2
+
c
o
t
2
{\displaystyle 1=csc^{2}+cot^{2}}
Hàm số lũy thừa Power function
y
=
a
x
n
{\displaystyle y=ax^{n}}
Hàm số Lô ga rít
y
(
x
)
=
L
o
g
x
{\displaystyle y(x)=Logx}
Hàm số lượng giác cos
c
o
s
θ
=
X
Z
{\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Z}}}
Hàm số lượng giác sin
c
o
s
θ
=
Y
Z
{\displaystyle cos\theta ={\frac {Y}{Z}}}
Hàm số lượng giác sec
c
o
s
θ
=
1
X
{\displaystyle cos\theta ={\frac {1}{X}}}
Hàm số lượng giác csc
c
o
s
θ
=
1
Y
{\displaystyle cos\theta ={\frac {1}{Y}}}
Hàm số lượng giác tan
c
o
s
θ
=
Y
X
{\displaystyle cos\theta ={\frac {Y}{X}}}
Hàm số lượng giác cot
c
o
s
θ
=
X
Y
{\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Y}}}
Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation
φ
=
γ
,
{\displaystyle \varphi =\gamma ,}
where
γ
{\displaystyle \gamma }
is the angle of elevation of the line; that is,
φ
=
arctan
m
{\displaystyle \varphi =\arctan m}
, where
m
{\displaystyle m}
is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line
φ
=
γ
{\displaystyle \varphi =\gamma }
perpendicularly at the point
(
r
0
,
γ
)
{\displaystyle (r_{0},\gamma )}
has the equation
r
(
φ
)
=
r
0
sec
(
φ
−
γ
)
.
{\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}
Otherwise stated
(
r
0
,
γ
)
{\displaystyle (r_{0},\gamma )}
is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius
r
0
{\displaystyle r_{0}}
Circle
sửa
A circle with equation Bản mẫu:Math
The general equation for a circle with a center at
(
r
0
,
γ
)
{\displaystyle (r_{0},\gamma )}
and radius a is
r
2
−
2
r
r
0
cos
(
φ
−
γ
)
+
r
0
2
=
a
2
.
{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}
This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation
r
(
φ
)
=
a
{\displaystyle r(\varphi )=a}
for a circle with a center at the pole and radius a .
When Bản mẫu:Math or the origin lies on the circle, the equation becomes
r
=
2
a
cos
(
φ
−
γ
)
.
{\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}
In the general case, the equation can be solved for Bản mẫu:Math , giving
r
=
r
0
cos
(
φ
−
γ
)
+
a
2
−
r
0
2
sin
2
(
φ
−
γ
)
{\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}
The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.
Polar rose
sửa
A polar rose with equation Bản mẫu:Math
A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,
r
(
φ
)
=
a
cos
(
k
φ
+
γ
0
)
{\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}
for any constant γ0 (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k -petaled rose if k is odd , or a 2k -petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ0 can be regarded as a phase angle.
Archimedean spiral
sửa
One arm of an Archimedean spiral with equation Bản mẫu:Math for Bản mẫu:Math
The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation
r
(
φ
)
=
a
+
b
φ
.
{\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}
Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for Bản mẫu:Math and one for Bản mẫu:Math . The two arms are smoothly connected at the pole. If Bản mẫu:Math , taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections , to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.
Ellipse, showing semi-latus rectum
Conic sections
sửa
A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by:
r
=
ℓ
1
−
e
cos
φ
{\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}
where e is the eccentricity and
ℓ
{\displaystyle \ell }
is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1 , this equation defines a hyperbola ; if Bản mẫu:Math , it defines a parabola ; and if Bản mẫu:Math , it defines an ellipse . The special case Bản mẫu:Math of the latter results in a circle of the radius
ℓ
{\displaystyle \ell }
.
Intersection of two polar curves
sửa
The graphs of two polar functions
r
=
f
(
θ
)
{\displaystyle r=f(\theta )}
and
r
=
g
(
θ
)
{\displaystyle r=g(\theta )}
have possible intersections of three types:
In the origin, if the equations
f
(
θ
)
=
0
{\displaystyle f(\theta )=0}
and
g
(
θ
)
=
0
{\displaystyle g(\theta )=0}
have at least one solution each.
All the points
[
g
(
θ
i
)
,
θ
i
]
{\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}
where
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
are solutions to the equation
f
(
θ
+
2
k
π
)
=
g
(
θ
)
{\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}
where
k
{\displaystyle k}
is an integer.
All the points
[
g
(
θ
i
)
,
θ
i
]
{\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}
where
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
are solutions to the equation
f
(
θ
+
(
2
k
+
1
)
π
)
=
−
g
(
θ
)
{\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}
where
k
{\displaystyle k}
is an integer.
Tóan hàm số
sửa
Phương trình đại số
sửa
Giải phương trình đại số
sửa
Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình
Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình
2
x
+
4
=
6
{\displaystyle 2x+4=6}
2
x
=
6
−
4
=
2
{\displaystyle 2x=6-4=2}
x
=
2
/
2
=
1
{\displaystyle x=2/2=1}
Giải phương trình đường thẳng
sửa
Dạng tổng quát
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
Giải phương trình
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
x
+
b
a
=
0
{\displaystyle x+{\frac {b}{a}}=0}
Nghiệm số phương trình
x
=
−
b
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
Giải phương trình đường tròn
sửa
Phương trình hình tròn hệ số thực
sửa
Dạng tổng quát
X
2
+
Y
2
=
0
{\displaystyle X^{2}+Y^{2}=0}
Giải phương trình
X
=
−
Y
2
=
±
j
Y
{\displaystyle X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY}
Y
=
−
X
2
=
±
j
X
{\displaystyle Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX}
Phương trình hình tròn hệ số phức
sửa
Dạng tổng quát
X
+
j
Y
=
0
{\displaystyle X+jY=0}
Giải phương trình
X
=
−
j
Y
{\displaystyle X=-jY}
j
Y
=
−
X
{\displaystyle jY=-X}
Y
=
j
X
{\displaystyle Y=jX}
Giải phương trình lũy thừa
sửa
Giải phương trình giải tích
sửa
Giải phương trình ma trận
sửa
Giải phương trình ma trận
sửa
Lối giải hệ phương trình tuyến tính
sửa
Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát
{
a
.
x
+
b
.
y
=
e
,
c
.
x
+
d
.
y
=
f
,
{\displaystyle {\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}}
Giải phương trình cho nghiệm số
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
.
Giải phương trình bằng ma trận
sửa
có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:
A
=
[
a
b
c
d
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.}
[
x
y
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}
[
e
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.}
Tìm định thức ma trận
sửa
Định thức của A
A
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
det (A )=ad -bc .
Định thức của X
A
=
[
e
b
f
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}}
det (X )=ed -bf .
Định thức của Y
Y
=
[
a
e
c
f
]
{\displaystyle Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}}
det (A )=af -cd .
Tìm nghiệm số
sửa
x
=
X
A
;
y
=
Y
A
{\displaystyle x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}}
.
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
.
Chứng minh
sửa
Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được
x
+
b
a
y
=
c
a
{\displaystyle x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}}
x
+
e
d
y
=
f
d
{\displaystyle x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}}
Trừ 2 phương trình trên, ta được
(
b
a
−
e
d
)
×
y
=
(
c
a
−
f
d
)
{\displaystyle ({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}
Tìm giá trị nghiệm số y
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được
a
b
x
+
y
=
c
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}}
d
e
x
+
y
=
f
e
{\displaystyle {\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}}
Trừ 2 phương trình trên, ta được
(
a
b
−
d
e
)
×
x
=
(
c
b
−
f
e
)
{\displaystyle ({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}
Tìm giá trị nghiệm số y
Vậy, hệ phương trình đường thẳng
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
d
x
+
e
y
=
f
{\displaystyle dx+ey=f}
Có nghiệm 2 nghiệm số
x
=
(
c
b
−
f
e
)
(
a
b
−
d
e
)
{\displaystyle x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}}
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Thí dụ
sửa
2
x
+
3
y
=
4
{\displaystyle 2x+3y=4}
5
x
+
6
y
=
7
{\displaystyle 5x+6y=7}
Thế
a
=
2
,
b
=
3
,
c
=
4
,
d
=
5
,
e
=
6
,
f
=
7
{\displaystyle a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7}
vào
x
=
(
c
b
−
f
e
)
(
a
b
−
d
e
)
{\displaystyle x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}}
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Ta có
x
=
(
4
3
−
7
6
)
(
2
3
−
5
6
)
=
3
6
/
−
3
6
=
−
1
{\displaystyle x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1}
y
=
(
4
2
−
7
5
)
(
3
2
−
6
7
)
=
6
10
/
3
14
=
84
30
{\displaystyle y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}}