Sách hình học/Hình học Euclid

Tiên đề, định lý và định luật trong Hình học Euclid

Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180^o (Định lý tổng ba góc trong của một tam giác)
Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng. (Bất đẳng thức tam giác)
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác. (Đồng quy tam giác)
Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. (Đồng quy tam giác)
Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. (Đồng quy tam giác)
Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. (Đồng quy tam giác)
Định lý hàm số cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai canh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.
Định lý hàm số sin: Trong một tam giác tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh.

Hai tam giác được gọi là đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu một trong chúng bằng với một tam giác nhận được từ tam giác kia sau một phép vị tự.Các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng:

Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).
Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).
Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).

Các tính chất khác:

Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Hai tam giác được gọi là bằng nhau

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi chúng có thể đặt trùng khít lên nhau sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng. Nói cách khác hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi thỏa mãn một trong bảy điều kiện sau đây:

Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh).
Hai tam giác có hai cặp cạnh bất kỳ tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa các cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh).
Hai tam giác có một cặp cạnh bất kỳ bằng nhau và hai cặp góc kề với cặp cạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc).
Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp đường cao bằng nhau thì chúng bằng nhau.
Hai tam giác có hai cặp cạnh bất kỳ tương ứng và một cặp góc có vị trí tương ứng bằng nhau thì chúng bằng nhau.
Hai tam giác có hai cặp góc bất kỳ và một cặp cạnh bất kỳ bằng nhau thì chúng bằng nhau (hai góc + một cạnh)
Quan hệ bằng nhau giữa các tam giác là trường hợp đặc biệt của quan hệ đồng dạng giữa các tam giác khi các cạnh tỷ lệ nhau theo hệ số tỷ lệ là 1

Góc, Cạnh trong tam giác

Các góc trong một tam giác được gọi là góc trong. Các góc kề bù với góc trong được gọi là góc ngoài. Góc ngoài thì bằng tổng các góc trong không kề bù với nó. Mỗi tam giác chỉ có 3 góc trong và 6 góc ngoài.

Đường cao là một đoạn thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó. Mỗi tam giác chỉ có ba đường cao. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

Đường trung tuyến là một đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Một tam giác chỉ có ba đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 cả trung tuyến tương ứng với đỉnh đó. Trên một mặt phẳng, đường thẳng đi qua bất kỳ một đỉnh và trọng tâm của tam giác đều thì chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau

Đường trung trực của một tam giác là đường vuông góc với một cạnh của tam giác đó tại trung điểm. Mỗi tam giác chỉ có ba đường trung trực. Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Đường phân giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau. Mỗi tam giác chỉ có ba đường phân giác. Ba đường này đồng quy tại một điểm. Điểm đó có tên gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tới các cạnh là bằng nhau. Mỗi đường phân giác đi qua một đỉnh sẽ chia cạnh đối diện của nó thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác đó theo mỗi bên.

Đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.

Theo định lý Ơle: Trong một tam giác: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cùng thuộc một đường thẳng, trọng tâm sẽ nằm giữa trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, từ trực tâm đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ bằng 3/2 lần từ trực tâm đến trọng tâm. Đường thẳng chứa ba điểm đó được gọi là đường thẳng Ơle.

Đối với các đường đồng quy của một tam giác (đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác), ta có thể nhận xét như sau:

Trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp luôn luôn nằm trong tam giác.
Trực tâm nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với đỉnh góc vuông khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong khi đó là tam giác nhọn.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với cạnh (là trung điểm của cạnh huyền) khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong trong tam giác khi đó là tam giác nhọn.
Trong một tam giác cân: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác sẽ thẳng hàng với nhau. Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng với cạnh đáy.
Trong một tam giác đều: trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trùng nhau. Các cặp đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao cũng trùng nhau. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh trong một tam giác. Đường trung bình có tính chất: song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba.