Sách giải tích/Ứng dụng toán giải tích

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x	$\Delta x=(x+\Delta x)-x$
Thay đổi biến số y	$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

Đạo hàm

v

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Tích phân

Tích phân xác định		$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
Tích phân bất định		$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$

Hoa"n chuyển tích phân

$f(x)$	$F(s)$	$F(j\omega )$
$f(x)$	$\int f(x)e^{sx}dx$	$\int f(x)e^{j\omega x}dx$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Chuyển động cong

Tính chất

Tính Chất Chuyển Động	Ký Hiệu	Công Thức
Vận tốc	$v$	$v(t)$
Gia tốc	$a$	${\frac {d}{dt}}v(t)$
Đường dài	$s$	$\int v(t)dt$
Lực	$F$	$m{\frac {d}{dt}}v(t)$
Năng lực	$W$	$F\int v(t)dt$

Thí dụ

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Dao động sóng sin dọc của lò xo

Phương trình dao động sóng

$y^{''}(t)=-\beta y(t)$

Hàm số sóng

$y(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f$

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Dao động sóng sin ngnag của lò xo

Phương trình dao động sóng

$x^{''}(t)=-\beta x(t)$

Hàm số sóng

$x(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f$

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Dao động sóng sin nghiêng của con lắc

Phương trình dao động sóng

$\theta ^{''}(t)=-\beta \theta (t)$

Hàm số sóng

$\theta (t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f$

$\omega ={\sqrt {\frac {l}{m}}}$

Chuyển động sóng

Phương trình đạo hàm sóng bậc n

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng như sau

$f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

Nghiệm của phương trình trên

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$
$\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ .

$n$ ≥ $2$

Phương trình đạo hàm sóng bậc 2

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace, ta có

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình trên cho 3 nghiệm số sau

Với $\alpha =\beta$ . $s=-\alpha$

$f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$

Với $\alpha$ > $\beta$ . $s=-\alpha \pm \lambda$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \lambda t}=Ae^{-\alpha t}e^{\lambda t}+Ae^{-\alpha t}e^{-\lambda t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$

Với $\alpha$ < $\beta$ . $s=-\alpha \pm j\omega$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \beta }t=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

Động lượng

$p=mv={\frac {F}{a}}v=Ft$

$F(t)={\frac {d}{dt}}p(t)$

Chuyển động thẳng nghiêng

$a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)$

$F=ma=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)$

Chuyển động tròn

$a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R{\vec {r}}=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}$

$F=ma=mR{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}$

$a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(X{\vec {i}}+Y{\vec {j}})=a_{x}{\vec {i}}+a_{j}{\vec {j}}$

$F=ma=m(a_{x}{\vec {i}}+a_{j}{\vec {j}})$

Điện nhiệt

Nhiệt nội

Điện trở	$W_{i}=i^{2}R(T)$
Cuộn từ	$W_{i}=\int Bdi=\int Lidi={\frac {1}{2}}Li^{2}$
Tụ điện	$W_{i}=\int Qdv=\int Qvdi={\frac {1}{2}}Cv^{2}$