Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức đại số/Công thức toán hàm số/Công thức toán hàm số

Các phép toán thực thi trên hàm số f(x)

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số là một phép toán giải tích tìm thay đổi của biến số của một hàm số .

Ký hiệu

Thay đổi biến số x có ký hiệu $\Delta$ . Với hàm số toán $y=f(x)$ .

Thay đổi biến số x có ký hiệu $\Delta x$ .

Thay đổi biến số y có ký hiệu $\Delta y=\Delta f(x)$

Phép toán

Phép toán thay đổi biến số	Ký hiệu	Giá trị
Tthay đổi biến số x	$\Delta x$	$\Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}$
Thay đổi biến số y	$\Delta y=\Delta f(x)$	$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}$

Thí dụ

Với đường thẳng nghiêng nối liền 2 điểm bất kỳ (1,2) , (3,4), ta co

Thay đổi biến số x

$\Delta x=x-x_{o}=3-1=2$

Thay đổi biến số xy

$\Delta f(x)=y-y_{o}=4-2=2$

Tỉ lệ thay đổi biến số

Tỉ lệ thay đổi biến số là một phép toán giải tích cho biết tỉ lệ của thay đổi biến số của một hàm số y=f(x) .

Ký hiệu

Tỉ lệ thay đổi biến số có ký hiệu

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=a$

Phép toán

Với mọi hàm số $y=f(x)$

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}$

Tỉ lệ thay đổi biến số

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {Y}{X}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}=a$

Thí dụ

Tìm độ dóc đường thẳng nghiêng qua 2 điểm $(0,1),(2,3)$

$a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {3-1}{2-0}}={\frac {2}{2}}=1$

Giới hạn

Phép toán giải tích tìm giá trị của một hàm số khi biến số của hàm số tiến tới một trị số .

Ký hiệu

Ký hiệu toán limit

$\lim _{\Delta x\to 0}f(x)$

Toán

Phép toán Limit được thực hiện như sau

$\lim _{\Delta x\to 0}f(x)=L$

Luật toán giải tích Limit

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
2. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})-\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
3. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)$.
4. $\lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})$.
5. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}$ (assuming y_n ≠ 0 for all n in N and lim y_n ≠ 0).

Thí dụ

$\lim _{x\to 0}x=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=00$

$\lim _{x\to 00}x=00$

$\lim _{x\to 00}{\frac {1}{x}}=0$

• Tổng số

Đạo hàm

Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - x_o càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)

Ký hiệu

Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau

Ký hiệu Chuẩn

${\frac {d}{dx}}f(x)$ .

Ký hiệu Leibitz

$f^{'}(x)$

Phép toán

Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Với

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-(x)$

Biến số hàm số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}$

Tổng biến số hàm số

$\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Giới hạn tổng biến số hàm số

$\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Đạo hàm hàm số

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Thí dụ

Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của vận tốc theo thời gian v(t) . Gia tốc chuyển động được tính như ở bên dưới

$a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)$

$v=v(t)$	$a={\frac {d}{dt}}v(t)$
$v=v$	$a={\frac {d}{dt}}v=0$
$v=t$	$a={\frac {d}{dt}}t=1$
$v=at$	$a={\frac {d}{dt}}at=a$
$v=at+v_{o}$	$a={\frac {d}{dt}}(at+v_{o})=a$

Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của đường dài theo thời gian s(t) . Vận tốc chuyển động được tính như ở bên dưới

$v(t)={\frac {d}{dt}}s(t)$

$a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Công thức toán đạo hàm

Hàm số , f(x)	Đạo hàm hàm số f'(x)	Giá trị
Đạo hàm hằng số	${\frac {d}{dx}}c$	$0$
Đạo hàm tích hằng số với biến số	${\frac {d}{dx}}cx$	$c$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}cx^{n}$	$cnx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}x^{n}$	$nx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa e	${\frac {d}{dx}}e^{x}$	${\frac {d}{dx}}e^{x}$
Đạo hàm lũy thừa n	${\frac {d}{dx}}n^{x}$	${\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn$
Đạo hàm Ln	${\frac {d}{dx}}Lnx$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}$
	$\cos x$	$-\sin x$
	$\sin x$	$\cos x$
	$\tan x$	$\sec ^{2}x$
	$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
	$\sec x$	$\sec x\tan x$
	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
	$\cos ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sin ^{-1}x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\tan ^{-1}x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
	$\cot ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sec ^{-1}x$	${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\csc ^{-1}x$	$-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\sinh x$	$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
	$\cosh x$	$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
	$\tanh x$	${\operatorname {sech} ^{2}\,x}$
	$\operatorname {sech} \,x$	$-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$
	$\operatorname {csch} \,x$	$-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$
	$\operatorname {coth} \,x$	$-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$
	$\operatorname {arsinh} \,x$	${1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
	$\operatorname {arcosh} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
	$\operatorname {artanh} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$
	$\operatorname {arsech} \,x$	$-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcsch} \,x$	$-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcoth} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$

Quy luật toán đạo hàm

Quy luật toán đạo ham	Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số	$(f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm hiệu 2 hàm số	$(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm tích 2 hàm số	$(fg)'=f'g+fg'.\,$	${\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm thương 2 hàm số	$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$	${\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}$
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số	$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$
Đạo hàm Ln	$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$	${\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}$
Đạo hàm hàm số phức	$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,$
Đạo hàm hàm số nghịch	$({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)$
Đạo hàm hàm số ngược	$g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,$
Đạo hàm hàm số kép	${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$	${\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}$

Hoán chuyển đạo hàm

Phép toán

Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau

Hoán chuyển	Ký hiệu	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
Toán Đạo hàm	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
Toán Đạo hàm hàm số	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc nhứt - Phương trình phân hủy

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s=-{\frac {b}{a}}$

$f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$

Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin không đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình đạo hàm

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(x)=Ae^{sx}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ < $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ > $\beta$	$f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin đều

Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$

Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có

$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình đạo hàm

$s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2

Tích phân

Tích phân là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . Có 2 loại toán tích phân

Loại tích phân	Hình	Công thức
Tích phân xác định		$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
Tích phân bất định		$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$

Tích phân xác định

Tích phân xác định là phép toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định

Luật toán tích phân xác định

	$\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0$
	$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx$
	$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$
	$\int \limits _{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\pm \int \limits _{a}^{b}g(x)dx$
	$\int \limits _{a}^{b}kf(x)dx=k\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$
	$\int \limits _{a}^{b}ndx=nx=nb-na=n(b-a)$

Phép toán tích phân xác định

Toán trung bình

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]$

Toán căn trung bình

${\sqrt {{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}={\sqrt {{\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}}$

Tích phân bất định

Tích phân bất định là một loại toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định . Phép toán tìm diện tích dưới hình hàm số

Luật toán tích phân bất định

Quy luật	Công thức	Điều kiện
1	$\int a\,dx=ax$
2 Homogeniety	$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$
3 Associativity	$\int {\left(f\pm g\pm h\pm \cdots \right)\,dx}=\int f\,dx\pm \int g\,dx\pm \int h\,dx\pm \cdots$
4 Integration by Parts	$\int _{a}^{b}fg'\,dx=\left[fg\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}gf'\,dx$
4 General Integration by Parts	$\int f^{(n)}g\,dx=f^{(n-1)}g'-f^{(n-2)}g''+\ldots +(-1)^{n}\int fg^{(n)}\,dx$
5	$\int f(ax)\,dx={\frac {1}{a}}\int f(x)\,dx$
6 Substitution Rule	$\int g\{f(x)\}\,dx=\int g(u){\frac {dx}{du}}\,du=\int {\frac {g(u)}{f'(x)}}\,du$	$u=f(x)\,$
7	$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}$	$n\neq -1\,$
8	$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|$
9	$\int e^{x}\,dx=e^{x}$
10	$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln |a|}}$	$a\neq 1$

Công thức toán tích phân bất định

Tích Phân Hàm Số Thường

	Integral	Value	Remarks
1	$\int c\,dx$	$cx+C\,$
2	$\int x^{n}\,dx$	${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$	$n\neq -1$
3	$\int {\frac {1}{x}}\,dx$	$\ln {\left|x\right|}+C$
4	$\int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,dx$	${1 \over a}\arctan {x \over a}+C$
5	$\int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx$	$\arcsin {x \over a}+C$
6	$\int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx$	$\arccos {x \over a}+C$
7	$\int {1 \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\,dx$	${1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C$
8	$\int \ln {x}\,dx$	$x\ln {x}-x+C\,$
9	$\int \log _{b}{x}\,dx$	$x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C\,$
10	$\int e^{x}\,dx$	$e^{x}+C\,$
11	$\int a^{x}\,dx$	${\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$
12	$\int \sin {x}\,dx$	$-\cos {x}+C\,$
13	$\int \cos {x}\,dx$	$\sin {x}+C\,$
14	$\int \tan {x}\,dx$	$-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C\,$
15	$\int \cot {x}\,dx$	$\ln {\left|\sin {x}\right|}+C\,$
16	$\int \sec {x}\,dx$	$\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C\,$
17	$\int \csc {x}\,dx$	$-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C\,$
18	$\int \sec ^{2}x\,dx$	$\tan x+C\,$
19	$\int \csc ^{2}x\,dx$	$-\cot x+C\,$
20	$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx$	$\sec {x}+C\,$
21	$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx$	$-\csc {x}+C\,$
22	$\int \sin ^{2}x\,dx$	${\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C\,$
23	$\int \cos ^{2}x\,dx$	${\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C\,$
24	$\int \sin ^{n}x\,dx$	$-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
25	$\int \cos ^{n}x\,dx$	$-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$
26	$\int \arctan {x}\,dx$	$x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$
27	$\int \sinh x\,dx$	$\cosh x+C\,$
28	$\int \cosh x\,dx$	$\sinh x+C\,$
29	$\int \tanh x\,dx$	$\ln |\cosh x|+C\,$
30	$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx$	$\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$
31	$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx$	$\arctan(\sinh x)+C\,$
32	$\int \coth x\,dx$	$\ln |\sinh x|+C\,$

Tích Phân Hàm Số Hyperboly

Dưới đây là danh sách tích phân với hàm hypebolic.

$\int \sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh cx$

$\int \cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh cx$

$\int \sinh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx-{\frac {x}{2}}$

$\int \cosh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx+{\frac {x}{2}}$

$\int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh ^{n-1}cx\cosh cx-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}$

hay: $\int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sinh ^{n+1}cx\cosh cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}$

$\int \cosh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh cx\cosh ^{n-1}cx+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}$

hay: $\int \cosh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\sinh cx\cosh ^{n+1}cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|$

hay: $\int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\sinh cx}}\right|$

hay: $\int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\sinh cx}{\cosh cx+1}}\right|$

hay: $\int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\cosh cx+1}}\right|$

$\int {\frac {dx}{\cosh cx}}={\frac {2}{c}}\arctan e^{cx}$

$\int {\frac {dx}{\sinh ^{n}cx}}={\frac {\cosh cx}{c(n-1)\sinh ^{n-1}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{\cosh ^{n}cx}}={\frac {\sinh cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(n-m)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}$

hay: $\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

hay: $\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(m-n)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{m-n}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}$

hay: $\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

hay: $\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int x\sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\cosh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\sinh cx$

$\int x\cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\sinh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\cosh cx$

$\int \tanh cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\cosh cx|$

$\int \coth cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\sinh cx|$

$\int \tanh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\tanh ^{n-1}cx+\int \tanh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \coth ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\coth ^{n-1}cx+\int \coth ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \sinh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh cx\cosh bx-c\cosh cx\sinh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \cosh bx\cosh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\cosh cx-c\sinh cx\cosh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \cosh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\sinh cx-c\cosh bx\cosh cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}$

$\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)$

$\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)$

$\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)$

$\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)$

Tích Phân Hàm Số Hyperboly Ngược

Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm hypebolic ngược.

$\int \mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}$

$\int \mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}-c^{2}}}$

$\int \mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |c^{2}-x^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|<|c|{\mbox{)}}$

$\int \mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |x^{2}-c^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|>|c|{\mbox{)}}$

$\int \mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}-c\,\mathrm {arctan} \,{\frac {x\,{\sqrt {\frac {c-x}{c+x}}}}{x-c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}$

$\int \mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}+c\,\ln \,{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}{c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}$

Tích phân hàm số Logarit

Dưới đây là danh sách tích phân với hàm lôgarít.

Chú ý: bài này quy ước x>0.

$\int \ln cx\,dx=x\ln cx-x$

• $\int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x$

• $\int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx$

• $\int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}$

• $\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

• $\int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}$

• $\int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}$

• $\int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)}}$

• $\int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

• $\int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}$

• $\int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

• $\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|$

• $\int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}$

• $\int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

• $\int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))$

• $\int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))$

Tích phân hàm số mũ

Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm mũ.

$\int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}$

$\int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx}\qquad {\mbox{( }}a>0,{\mbox{ }}a\neq 1{\mbox{)}}$

$\int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)$

$\int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)$

$\int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx$

$\int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}$

$\int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)$

$\int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx$

$\int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx$

$\int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}$

$\int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2\sigma }}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}})$

$\int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;dx\quad (n>0),$

với $c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {2j\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{(2n)! \over {n!}}{\left({\frac {a}{2}}\right)}^{2n+1}$

Tích phân hàm số lượng giác

Tích phân hàm số sine

$\int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!$

$\int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!$

$\int x\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C\!$

$\int x^{2}\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!$

$\int \sin b_{1}x\sin b_{2}x\;dx={\frac {\sin((b_{1}-b_{2})x)}{2(b_{1}-b_{2})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}\,\!$

$\int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!$

$\int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!$

$\int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!$

$\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!$

$\int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!$

$\int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C$

$\int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C$

• Tích phân bất định cosine

$\int \cos ax\;dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!$

$\int \cos ^{n}ax\;dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!$

$\int x\cos ax\;dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!$

$\int \cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!$

$\int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!$

$\int x^{n}\cos ax\;dx={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,\!$

$\int {\frac {\cos ax}{x}}dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!$

$\int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!$

$\int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!$

$\int {\frac {x\;dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C$

$\int {\frac {x\;dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!$

$\int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;dx={\frac {\sin(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+{\frac {\sin(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất địnhtangent

$\int \tan ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!$

$\int \tan ^{n}ax\;dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{\tan ax}}={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!$

$\int {\frac {dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!$

$\int {\frac {dx}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!$

$\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!$

$\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!$

• Tích phân bất địnhonly secant

$\int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C$

$\int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{ax}\sin {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int \sec ^{n}{x}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,dx$

$\int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C$

• Tích phân bất định cosecant

$\int \csc {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C$

$\int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C$

$\int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-1}{ax}\cos {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất định cotangent

$\int \cot ax\;dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!$

$\int \cot ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}\,\!$

• Tích phân bất địnhsine and cosine

$\int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C$

$\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C$

$\int \sin ax\cos ax\;dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C\,\!$

$\int \sin a_{1}x\cos a_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}-{\frac {\cos(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!$

$\int \sin ^{n}ax\cos ax\;dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int \sin ax\cos ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

$\int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ^{m+1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}ax\cos ^{m}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!$

also: $\int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx={\frac {\sin ^{n+1}ax\cos ^{m-1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}ax\cos ^{m-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C$

$\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax\cos ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C$

$\int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

also: $\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!$

also: $\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

$\int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C$

$\int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax)}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

also: $\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}={\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!$

also: $\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất định sine and tangent

$\int \sin ax\tan ax\;dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!$

$\int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất định cosine and tangent

$\int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất định sine and cotangent

$\int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất địnhcosine and cotangent

$\int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

• Tích phân bất định

$\int _{-c}^{c}\sin {x}\;dx=0\!$

$\int _{-c}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\;dx=2\sin {c}\!$

$\int _{-c}^{c}\tan {x}\;dx=0\!$

$\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!$

Tích phân hàm lượng giác ngược

Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm lượng giác ngược.

$\int \arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{c}}+{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int x\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int x^{2}\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int x^{n}\sin ^{-1}x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\sin ^{-1}x\right.$

$\left.+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\sin ^{-1}x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\sin ^{-1}x\,dx\right)$

$\int \arccos {\frac {x}{c}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{c}}-{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int x\arccos {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int x^{2}\arccos {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}$

$\int \arctan {\frac {x}{c}}\,dx=x\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})$

$\int x\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx}{2}}$

$\int x^{2}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx^{2}}{6}}+{\frac {c^{3}}{6}}\ln {c^{2}+x^{2}}$

$\int x^{n}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{c|x|}}\ln {|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}|}$

$\int x\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} {x}-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

$\int x^{n}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} {x}-{\frac {1}{n}}\left(x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}\;\right.\right.$

$\left.\left.+(1-n)\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} {x}+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\right)\right)\right)$

$\int \mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})$

$\int x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}$

$\int x^{2}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})$

$\int x^{n}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}$

Hoán chuyển tích phân

Phép toán giải tích của một tích phân xác định dùng trong việc Hoán chuyển hệ tóan bao gồm 2 lọai hóan chuyển Hoán chuyển Laplace và Hoán chuyển Fourier

Hoán chuyển Laplace

Hoán chuyển Laplace là phép toán tích phân dùng trong việc hoán chuyển hệ thời gian t sang hệ Laplace s dùng công thức sau

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
$f(t)-->F(s)$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
$\int ^{n}f(t)dt^{n}$	$-s^{n}f(t)$

Thí dụ

Công cụ điện	Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện	$v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$	$-{\frac {1}{C}}si(t)$
Dòng điện tụ điện	$i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)$	$sCv(t)$
Điện thế cuộn từ	$v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$	$sLi(t)$
Dòng điện cuộn từ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)$	$-{\frac {1}{L}}sv(t)$

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds$

Hoán Chuyển Fourier

Phép biến đổi Fourier là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số F(jω), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

Trong đó

$s$ là biến số phức cho bởi $s=\sigma +j\omega$

$s$ là miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second) $s^{-1}$

Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
$f(t)-->F(s)$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$j\omega ^{n}f(t)$
$\int ^{n}f(t)dt^{n}$	$-j\omega ^{n}f(t)$

Thí dụ

Công cụ điện	Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện	$v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$	$-{\frac {1}{C}}j\omega i(t)$
Dòng điện tụ điện	$i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)$	$j\omega Cv(t)$
Điện thế cuộn từ	$v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$	$\omega Li(t)$
Dòng điện cuộn từ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)$	$-{\frac {1}{L}}j\omega v(t)$

Ứng dụng

Hoán Chuyển Laplace
Định nghỉa	$f(t)->F(s)$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$
Thí dụ	Time domain	Laplace domain
	${\frac {d}{dt}}$	$s$
	${\frac {d}{dt}}f(t)$	$sf(t)$
	${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
	$\int dt$	${\frac {1}{s}}=-s$
	$\int f(t)dt$	${\frac {1}{s}}f(t)=-sf(t)$
Hoán Chuyển Fourier
Định nghỉa	$f(t)->F(j\omega )$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$
Thí dụ	Time domain	Fourier
	${\frac {d}{dt}}$	$j\omega$
	${\frac {d}{dt}}f(t)$	$j\omega f(t)$
	${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
	$\int dt$	${\frac {1}{j}}\omega =-j\omega$
	$\int f(t)dt$	${\frac {1}{j\omega }}f(t)=-sf(t)$
Ứng dụng hoán chuyển tích phân
Hệ thời gian	Hệ Laplace	Hệ Fourier	Hệ Góc độ
${\frac {d}{dt}}$	$s$	$j\omega$	$\omega \angle 90^{o}$
$\int dt$	${\frac {1}{s}}$	${\frac {1}{j\omega }}$	${\frac {1}{\omega }}\angle -90^{o}$
Thí dụ	$v_{L}=L{\frac {di_{L}}{dt}}$ $v_{L}=sL$ . Hoán chuyển hệ Laplace $v_{L}=j\omega L$ . Hoán chuyển hệ Fourier $v_{L}=\omega L\angle 90^{o}$ . Hoán chuyển hệ góc độ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v_{L}dt$ $i_{L}={\frac {1}{sL}}$ . Hoán chuyển hệ Laplace $i_{L}={\frac {1}{j\omega L}}$ . Hoán chuyển hệ Fourier $i_{L}={\frac {1}{\omega L\angle 90^{o}}}$ . Hoán chuyển hệ góc độ