Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.
Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây
Loai số loại số Định nghỉa Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
N
{\displaystyle N}
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
{\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Số chẳn Mọi số chia hết cho 2
2
n
{\displaystyle 2n}
2
,
4
,
6
,
{\displaystyle 2,4,6,}
Số lẻ Mọi số không chia hết cho 2
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
1
,
3
,
5
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,5,7,9}
Số nguyên tố Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó
p
{\displaystyle p}
1
,
3
,
5
,
7
{\displaystyle 1,3,5,7}
Số lũy thừa
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
×
a
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...\times a}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
2
3
=
2
×
2
×
2
=
8
{\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}
Số căn
n
a
{\displaystyle n{\sqrt {a}}}
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
n
a
{\displaystyle n{\sqrt {a}}}
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
Số log
L
o
g
a
b
=
c
{\displaystyle Log_{a}b=c}
a
c
=
b
{\displaystyle a^{c}=b}
L
o
g
a
b
{\displaystyle Log_{a}b}
L
o
g
10
100
=
2
{\displaystyle Log_{10}100=2}
Số nguyên
I
=
+
I
,
−
I
,
0
{\displaystyle I=+I,-I,0}
I
{\displaystyle I}
+
1
,
−
1
,
0
{\displaystyle +1,-1,0}
Phân số Số có dạng một số trên một số khác
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Số thập phân
0.
a
b
c
d
{\displaystyle 0.abcd}
0.5
{\displaystyle 0.5}
Số hửu tỉ
Số vô tỉ
Số phức
Z
=
a
±
j
b
{\displaystyle Z=a\pm jb}
Z
{\displaystyle Z}
2
±
j
3
{\displaystyle 2\pm j3}
Số thực
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
2
{\displaystyle 2}
Số ảo
j
/
i
=
−
1
{\displaystyle j/i={\sqrt {-1}}}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
±
j
3
{\displaystyle \pm j3}
Hằng số Số đại số có giá trị không đổi
c
{\displaystyle c}
π
,
e
{\displaystyle \pi ,e}
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
−
0
=
a
{\displaystyle a-0=a}
a
×
0
=
0
{\displaystyle a\times 0=0}
a
/
0
=
o
o
{\displaystyle a/0=oo}
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
a
−
(
−
a
)
=
2
a
{\displaystyle a-(-a)=2a}
a
×
(
−
a
)
=
−
a
2
{\displaystyle a\times (-a)=-a^{2}}
a
/
(
−
a
)
=
−
1
{\displaystyle a/(-a)=-1}
a
+
a
=
2
a
{\displaystyle a+a=2a}
a
−
a
=
0
{\displaystyle a-a=0}
a
×
a
=
a
2
{\displaystyle a\times a=a^{2}}
a
a
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
a
n
=
a
×
a
×
a
.
.
.
×
a
{\displaystyle a^{n}=a\times a\times a...\times a}
(
−
a
)
n
=
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=a^{n}}
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
(
−
a
)
n
=
−
a
n
{\displaystyle (-a)^{n}=-a^{n}}
n
=
2
m
+
1
{\displaystyle n=2m+1}
0
=
0
{\displaystyle {\sqrt {0}}=0}
1
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}
(
−
1
)
=
j
{\displaystyle {\sqrt {(-1)}}=j}
Toán Log
L
o
g
a
b
=
c
{\displaystyle Log_{a}b=c}
a
c
=
b
{\displaystyle a^{c}=b}
Viết tắc
L
o
g
=
L
o
g
10
{\displaystyle Log=Log_{10}}
L
n
=
L
o
g
2
{\displaystyle Ln=Log_{2}}
Log 1
L
o
g
(
1
)
=
0
{\displaystyle Log(1)=0}
Log lũy thừa
L
o
g
n
(
A
)
n
=
A
{\displaystyle Log_{n}(A)^{n}=A}
Lũy thừa log
B
L
o
g
B
(
A
)
=
A
{\displaystyle B^{Log_{B}(A)}=A}
Log của tích số
L
o
g
(
A
B
)
=
L
o
g
A
+
L
o
g
B
{\displaystyle Log(AB)=LogA+LogB}
Log của thương số
L
o
g
(
A
B
)
=
L
o
g
A
−
L
o
g
B
{\displaystyle Log({\frac {A}{B}})=LogA-LogB}
Log của lủy thừa
L
o
g
(
A
n
)
=
n
L
o
g
A
{\displaystyle Log(A^{n})=nLogA}
Đổi nền log
L
o
g
a
x
=
L
o
g
x
L
o
g
a
{\displaystyle Log_{a}x={\frac {Logx}{Loga}}}
Số phức được biểu diển như ở dưới đây
Số phức Thuận
Z
{\displaystyle Z}
Nghịch
Z
∗
{\displaystyle Z^{*}}
Biểu diển dưới dạng xy
Z
=
x
+
j
y
{\displaystyle Z=x+jy}
Z
=
x
−
j
y
{\displaystyle Z=x-jy}
Biểu diển dưới dạng Zθ
Z
∠
θ
=
x
2
+
y
2
∠
t
a
n
−
1
y
x
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}}
Z
∠
θ
=
x
2
+
y
2
∠
−
t
a
n
−
1
y
x
{\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle -tan^{-1}{\frac {y}{x}}}
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác
Z
=
z
(
c
o
s
θ
+
j
s
i
n
θ
)
{\displaystyle Z=z(cos\theta +jsin\theta )}
Z
=
z
(
c
o
s
θ
−
j
s
i
n
θ
)
{\displaystyle Z=z(cos\theta -jsin\theta )}
Biểu diển dưới lũy thừa của e
Z
=
z
e
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{j\theta }}
Z
=
z
e
−
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{-j\theta }}
Toán số phức được thực thi như sau
Toán Số phức Toán cộng Toán trừ Toán nhân Toán chia
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
x
+
j
y
{\displaystyle x+jy}
x
−
j
y
{\displaystyle x-jy}
2
x
{\displaystyle 2x}
2
y
{\displaystyle 2y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
x
2
−
y
2
x
−
j
y
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}}
Z
=
z
e
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{j\theta }}
Z
=
z
e
−
j
θ
{\displaystyle Z=ze^{-j\theta }}
z
(
e
j
θ
+
e
−
j
θ
)
{\displaystyle z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })}
z
(
e
j
θ
−
e
−
j
θ
)
{\displaystyle z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })}
z
2
{\displaystyle z^{2}}
e
j
2
θ
{\displaystyle e^{j2\theta }}
Định lý Demoive
(
Z
∠
θ
)
n
=
Z
n
∠
n
θ
{\displaystyle (Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta }
Dải số là một dải số có định dạng . Thí dụ
Dải số của các số tự nhiên
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
.
.
.
.
,
n
{\displaystyle 1,2,3,4,5,....,n}
Dải số của các số tự nhiên chẳn
1
,
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
.
.
.
,
2
n
{\displaystyle 1,2,4,6,8,10,...,2n}
Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau
s
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
=
k
(
1
+
n
)
{\displaystyle s=1+2+3+...+n=k(1+n)}
Tổng dải số có ký hiệu
∑
{\displaystyle \sum }
Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
=
1
+
2
+
⋯
+
n
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n}
.
sửa
Dạng tổng quát
Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]}
Chứng minh
∑
k
=
0
∞
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
=
n
2
(
2
a
+
(
n
−
1
)
d
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)}
S
=
a
+
(
a
+
d
)
+
(
a
+
2
d
)
+
.
.
.
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]}
S
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
+
.
.
.
+
(
n
−
1
)
d
]
+
a
{\displaystyle S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a}
2
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
{\displaystyle 2S=[2a+(n-1)d]n}
S
=
[
2
a
+
(
n
−
1
)
d
]
n
2
{\displaystyle S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}}
Thí dụ
Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát
1
,
2
,
3
,
.
.
.9
{\displaystyle 1,2,3,...9}
Tổng số của dải số
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
.
.
.9
=
50
{\displaystyle 1+2+3+4+5+...9=50}
Cách giải
S
=
(
1
+
9
)
+
(
2
+
8
)
+
(
3
+
7
)
+
(
4
+
6
)
+
(
5
+
5
)
=
10
(
5
)
=
50
{\displaystyle S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50}
sửa
Dạng tổng quát
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})}
Chứng minh
∑
k
=
0
∞
(
a
r
k
)
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
…
+
a
r
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}
r
S
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
.
.
.
+
a
r
n
{\displaystyle rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}}
S
−
r
S
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle S-rS=a-ar^{n}}
S
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
S
=
a
1
−
r
{\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}
n
<
1
{\displaystyle n<1}
Thí dụ
1
+
1.1
+
1.1
2
+
1.1
3
=
4
{\displaystyle 1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4}
1
+
1.2
+
1.2
2
+
1.2
3
=
1
+
2
+
4
+
8
=
15
{\displaystyle 1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15}
Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng
(
x
+
y
)
n
=
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
x
r
y
n
−
r
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}}
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
0
y
n
+
(
n
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
n
)
x
n
y
0
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}}
(
x
+
y
)
n
=
y
n
+
n
x
y
n
−
1
+
(
n
2
)
x
2
y
n
−
2
+
⋯
+
(
n
n
−
2
)
x
n
−
2
y
2
+
n
x
n
−
1
y
+
x
n
{\displaystyle (x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}}
Với
(
n
r
)
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
{\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}
Thí dụ
(
x
+
1
)
1
=
{\displaystyle (x+1)^{1}=}
1
x
+
1
{\displaystyle 1x+1}
(
x
+
1
)
2
=
{\displaystyle (x+1)^{2}=}
1
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle 1x^{2}+2x+1}
(
x
+
1
)
3
=
{\displaystyle (x+1)^{3}=}
1
x
3
+
3
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle 1x^{3}+3x^{2}+3x+1}
(
x
+
1
)
4
=
{\displaystyle (x+1)^{4}=}
1
x
4
+
4
x
3
+
6
x
2
+
4
x
+
1
{\displaystyle 1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1}
(
x
+
1
)
5
=
{\displaystyle (x+1)^{5}=}
1
x
5
+
5
x
4
+
10
x
3
+
10
x
2
+
5
x
+
1
{\displaystyle 1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1}
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Dạng tổng quá
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
sửa
Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
3
+
a
4
x
4
+
.
.
.
=
f
(
0
)
+
f
′
x
(
0
)
+
f
″
(
0
)
2
!
+
f
‴
(
0
)
3
!
+
.
.
.
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...}
Chứng minh
Khi x=0
f
(
0
)
=
a
0
{\displaystyle f(0)=a_{0}}
Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0
f
′
(
x
)
=
a
1
+
2
a
2
x
+
3
a
3
x
2
+
4
a
4
x
3
{\displaystyle f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}}
f
′
(
0
)
=
a
1
{\displaystyle f^{'}(0)=a_{1}}
Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0
f
″
(
x
)
=
2
a
2
+
(
3
)
(
2
)
a
3
x
+
(
4
)
(
3
)
a
4
x
2
+
(
5
)
(
4
)
a
5
x
3
{\displaystyle f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}}
f
″
(
0
)
=
2
a
2
{\displaystyle f^{''}(0)=2a_{2}}
a
2
=
f
″
(
0
)
2
{\displaystyle a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}}
Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0
f
‴
(
x
)
=
(
3
)
(
2
)
a
3
x
+
(
4
)
(
3
)
(
2
)
a
4
x
+
(
5
)
(
4
)
(
3
)
a
5
x
2
{\displaystyle f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}}
f
‴
(
0
)
=
(
3
)
(
2
)
a
3
{\displaystyle f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}}
a
3
=
f
‴
(
0
)
3
!
{\displaystyle a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}}
Thế
a
0
,
a
−
1
,
a
−
2
{\displaystyle a_{0},a-1,a-2}
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
3
+
a
4
x
4
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}}
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
x
(
0
)
+
f
″
(
0
)
2
!
+
f
‴
(
0
)
3
!
{\displaystyle f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}}
Thí dụ=
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
f
(
0
)
=
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=\sin(0)=0}
f
″
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle f^{''}(x)=-\sin(x)}
f
″
(
0
)
=
−
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{''}(0)=-\sin(0)=0}
f
‴
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
{\displaystyle f^{'''}(x)=-\cos(x)}
f
‴
(
0
)
=
−
cos
(
0
)
=
−
1
{\displaystyle f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1}
f
⁗
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f^{''''}(x)=\sin(x)}
f
‴
(
0
)
=
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}
sin
(
x
)
=
0
+
x
(
1
)
+
x
2
2
!
(
0
)
+
x
3
3
!
(
−
1
)
+
x
5
5
!
(
1
)
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
{\displaystyle \sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\cos(x)}
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\cos(x)}
f
(
0
)
=
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=\cos(0)=1}
f
′
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle f^{'}(x)=-\sin(x)}
f
′
(
0
)
=
−
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{'}(0)=-\sin(0)=0}
f
″
(
x
)
=
−
cos
(
x
)
{\displaystyle f^{''}(x)=-\cos(x)}
f
‴
(
0
)
=
−
cos
(
0
)
=
−
1
{\displaystyle f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1}
f
⁗
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f^{''''}(x)=\sin(x)}
f
‴
(
0
)
=
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}
f
‴
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f^{'''}(x)=\sin(x)}
f
‴
(
0
)
=
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}
cos
(
x
)
=
1
+
x
(
0
)
+
x
2
2
!
(
−
1
)
+
x
3
3
!
(
0
)
+
x
4
4
!
(
1
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
{\displaystyle \cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}
sửa
Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine
s
N
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
n
=
1
N
A
n
⋅
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
,
for integer
N
≥
1.
{\displaystyle s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.}
sửa
∑
k
=
0
n
c
=
n
c
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{c}=nc}
c
{\displaystyle c}
∑
k
=
0
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑
k
=
0
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑
k
=
0
n
k
3
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
e
x
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
=
ln
(
1
+
x
)
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
=
cos
(
x
)
for all
x
∈
C
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C} }
Một đa thức đại số của nhiều đơn thức đại số
Thí dụ
2
x
+
5
y
−
3
{\displaystyle 2x+5y-3}
Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau
Thí dụ
A
=
2
x
+
5
y
−
3
{\displaystyle A=2x+5y-3}
B
=
52
y
−
5
{\displaystyle B=52y-5}
A
+
B
=
(
2
x
+
5
y
−
3
)
+
(
52
y
−
5
)
=
2
x
+
(
5
y
+
52
y
)
+
(
−
3
−
5
)
=
2
x
+
57
y
−
8
{\displaystyle A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8}
A
−
B
=
(
2
x
+
5
y
−
3
)
−
(
52
y
−
5
)
=
2
x
+
(
5
y
−
52
y
)
+
[
−
3
−
(
−
5
)
]
=
2
x
−
47
y
+
2
{\displaystyle A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2}
Đẳng thức đại diện cho 2 đa thức bằng nhau . Thí dụ như Định lý Pythagore về tương quan các cạnh trong tam giác vuông
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
sửa
Bình phương tổng 2 số đại số
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
a
b
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Bình phương hiệu 2 số đại số
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
a
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
Tổng 2 bình phương
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab}
a
2
+
b
2
=
(
a
−
b
)
2
+
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab}
Hiệu 2 bình phương
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Tổng 2 lập phương
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
Hiệu 2 lập phương
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
Bất đẳng thức đại diện cho 2 đa thức không bằng nhau
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
Hàm số Công thức
Hàm số có dạng tổng quát
f
(
x
,
y
,
z
,
.
.
.
)
{\displaystyle f(x,y,z,...)}
Giá trị hàm số
f
(
x
,
y
,
z
,
.
.
.
)
=
C
{\displaystyle f(x,y,z,...)=C}
Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function
f
(
t
)
=
f
(
t
+
T
)
{\displaystyle f(t)=f(t+T)}
s
i
n
x
=
s
i
n
(
x
+
k
2
π
)
{\displaystyle sinx=sin(x+k2\pi )}
Hàm số chẳn even function
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)}
y
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle y(x)=|x|}
Hàm số lẽ odd function
f
(
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)=-f(x)}
y
(
x
)
=
−
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)=-y(x)}
Hàm số nghịch đảo inverse function
f
−
1
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}}
s
i
n
−
1
x
=
1
s
i
n
x
{\displaystyle sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}}
Hàm số trong hàm số composite function
f
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=f(g(x))}
Hàm số nhiều biến số parametric function
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
Hàm số tương quan/]] recursive function
Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)
x -2
-1
0
1
2
Hình
F(x)=x -2
-1
0
1
2
x
sửa
sửa
Với mọi hàm số
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Thay đổi biến số
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x}
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Tỉ lệ thay đổi biến số
Δ
y
Δ
x
=
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
(
x
+
Δ
x
)
−
x
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}}
Giới hạn
lim
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
(
x
+
Δ
x
)
−
x
=
f
(
Δ
x
)
−
f
(
0
)
(
Δ
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(\Delta x)-f(0)}{(\Delta x)}}}
Đạo hàm
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Tích phân Tích phân bất định
∫
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
)
Δ
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C}
Tích phân xác định
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83064172516d2185efbd65172ed7cc9d3e701284)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ddb7d13541806e35a6053ba614df98a87b655)
![{\displaystyle a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c5b6f1d86ff3f156fd65ff5857f5e95f89c10e)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2a5db1feeaf9814ba2e7c2618c255f45f299a8)
![{\displaystyle S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63777c0be192f9fe36871fbf7d21970aaed89899)
![{\displaystyle S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c376b47de6ed1cfc662cad50bbc979688886f30)
![{\displaystyle 2S=[2a+(n-1)d]n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47f5f57718103fa0610bc7149959105b3a09039)
![{\displaystyle S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220eac7734e9963f251e2cac7519edcaf6af5420)
![{\displaystyle A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b408c9cc2f522c6b7708d057b56b8972389ed9)
