các phương trình tuyến tính như:
Trong Bản mẫu:Webarchive không gian Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này biểu diễn các nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu thị tập các nghiệm chung: trong trường hợp này là một điểm duy nhất. Đường màu xanh lam là nghiệm chung cho hai phương trình này.
a
1
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
,
{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}
ánh xạ tuyến tính như:
(
x
1
,
…
,
x
n
)
↦
a
1
x
1
+
…
+
a
n
x
n
,
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},}
và biểu diễn của chúng trong không gian vectơ và thông qua ma trận
Tính chất
sửa
Không gian vectơ
sửa
Cấu trúc chính của đại số tuyến tính là các không gian vectơ . Một không gian vectơ trên trường số
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
là một tập
V
{\displaystyle V}
kèm theo phép toán hai ngôi . Các phần tử trong
V
{\displaystyle V}
gọi là những vectơ , các phần tử trong
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
gọi là vô hướng . Phép toán đầu tiên là phép cộng vectơ , cộng 2 vectơ
v
{\displaystyle v}
và
w
{\displaystyle w}
cho ra một vectơ thứ 3 là
v
+
w
{\displaystyle v+w}
. Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng
a
{\displaystyle a}
với bất kỳ vectơ
v
{\displaystyle v}
nào và kết quả cho ra một vectơ mới
a
v
{\displaystyle av}
, phép toán này gọi là phép nhân vô hướng của
v
{\displaystyle v}
với
a
{\displaystyle a}
. Các phép nhân và cộng trong không gian vectơ phải thỏa mãn 8 tiên đề sau, với
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
và
w
{\displaystyle w}
là các vectơ trong tập
V
{\displaystyle V}
.
a
{\displaystyle a}
và
b
{\displaystyle b}
là các vô hướng trong trường số
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
.
Tiên đề
Công thức biểu diễn
Tính kết hợp của phép cộng
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
{\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
Phần tử trung hòa của phép cộng
Tồn tại một phần tử
0
∈
V
{\displaystyle 0\in V}
, sao cho
v
+
0
=
0
+
v
=
v
{\displaystyle v+0=0+v=v}
với mọi
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
.
Phần tử nghịch đảo của phép cộng
Với mọi
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
, tồn tại một phần tử
−
v
∈
V
{\displaystyle -v\in V}
, gọi là phần tử nghịch đảo của
v
{\displaystyle v}
, sao cho
v
+
(
−
v
)
=
(
−
v
)
+
v
=
0
{\displaystyle v+(-v)=(-v)+v=0}
Tính giao hoán của phép cộng
u
+
v
=
v
+
u
{\displaystyle u+v=v+u}
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vectơ
a
(
u
+
v
)
=
a
u
+
a
v
{\displaystyle a(u+v)=au+av}
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng
(
a
+
b
)
v
=
a
v
+
b
v
{\displaystyle (a+b)v=av+bv}
Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng
a
(
b
v
)
=
(
a
b
)
v
{\displaystyle a(bv)=(ab)v}
Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng
1
v
=
v
{\displaystyle 1v=v}
, với
1
{\displaystyle 1}
là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
.
Ánh xạ tuyến tính
sửa
Cho 2 không gian vectơ
V
{\displaystyle V}
và
W
{\displaystyle W}
trên trường
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
, một biến đổi tuyến tính (còn gọi là ánh xạ tuyến tính ) là một ánh xạ :
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
bảo toàn phép cộng và phép nhân vô hướng:
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
,
T
(
a
v
)
=
a
T
(
v
)
{\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)}
với mọi vectơ
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
và mọi vô hướng
a
∈
F
{\displaystyle a\in \mathbb {F} }
.
Thí dụ
sửa
Thế số vào phương trình
sửa
2
x
+
3
y
=
4
{\displaystyle 2x+3y=4}
5
x
+
6
y
=
7
{\displaystyle 5x+6y=7}
Thế
a
=
2
,
b
=
3
,
c
=
4
,
d
=
5
,
e
=
6
,
f
=
7
{\displaystyle a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7}
vào
x
=
(
c
b
−
f
e
)
(
a
b
−
d
e
)
{\displaystyle x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}}
y
=
(
c
a
−
f
d
)
(
b
a
−
e
d
)
{\displaystyle y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}}
Ta có
x
=
(
4
3
−
7
6
)
(
2
3
−
5
6
)
=
3
6
/
−
3
6
=
−
1
{\displaystyle x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1}
y
=
(
4
2
−
7
5
)
(
3
2
−
6
7
)
=
6
10
/
3
14
=
84
30
{\displaystyle y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}}
Ma trận
sửa
Lối giải hệ phương trình tuyến tính
sửa
Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát
{
a
.
x
+
b
.
y
=
e
,
c
.
x
+
d
.
y
=
f
,
{\displaystyle {\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}}
Giải phương trình cho nghiệm số
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
.
Giải phương trình bằng ma trận
sửa
có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:
A
=
[
a
b
c
d
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.}
[
x
y
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}
[
e
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.}
Tìm định thức ma trận
sửa
Định thức của A
A
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
det (A )=ad -bc .
Định thức của X
A
=
[
e
b
f
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}}
det (X )=ed -bf .
Định thức của Y
Y
=
[
a
e
c
f
]
{\displaystyle Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}}
det (A )=af -cd .
Tìm nghiệm số
sửa
x
=
X
A
;
y
=
Y
A
{\displaystyle x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}}
.
x
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
;
y
=
a
f
−
c
e
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}}
.