sửa
a
x
+
b
=
0
{\displaystyle ax+b=0}
x
+
b
a
=
0
{\displaystyle x+{\frac {b}{a}}=0}
x
=
−
b
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
sửa
sửa
Trong toán học , định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét ), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức ) và các hệ số của nó.
Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
thì:
{
x
1
+
x
2
=
S
=
−
b
/
a
x
1
x
2
=
P
=
c
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}
sửa
Cho phương trình:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
0
,
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}
Cho x1 , x2 ,..., xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}
Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:
{
a
=
a
n
−
a
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
=
a
n
−
1
…
…
(
−
1
)
n
−
1
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
1
+
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
2
x
n
+
.
.
.
+
x
2
x
3
.
.
.
x
n
)
=
a
1
(
−
1
)
n
a
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
=
a
0
{\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là
a
n
−
k
{\displaystyle a_{n-k}\,}
(
−
1
)
k
a
{\displaystyle (-1)^{k}a\,}
nhân với Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên. -
Nếu x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a , và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
/
a
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
x
3
x
1
=
c
/
a
x
1
x
2
x
3
=
−
d
/
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}
Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình:
x
2
−
5
x
+
6
=
0
{\displaystyle x^{2}-5x+6=0}
.
{\displaystyle .\,}
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam . Áp dụng trong phương trình bậc hai
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
Khi có tổng và tích của hai nghiệm
{
x
1
+
x
2
=
S
=
−
b
/
a
x
1
x
2
=
P
=
c
a
{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}
S
2
−
4
P
≥
0
{\displaystyle S^{2}-4P\geq 0}
Khi đó
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
X
2
−
S
X
+
P
=
0
{\displaystyle X^{2}-SX+P=0}
Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
x
1
x
2
<
0
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}<0\Leftrightarrow }
P
<
0
{\displaystyle P<0}
a
c
<
0
{\displaystyle ac<0}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
⇔
0
<
x
1
<
x
2
⇔
{
Δ
>
0
S
>
0
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S>0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
⇔
x
1
<
x
2
<
0
⇔
{
Δ
>
0
S
<
0
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}<x_{2}<0\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S<0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm dương
x
0
{\displaystyle x_{0}}
⇔
0
<
x
0
⇔
{
Δ
=
0
x
0
+
x
0
=
S
>
0
x
0
x
0
=
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S>0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm âm
x
0
{\displaystyle x_{0}}
⇔
0
<
x
0
⇔
{
Δ
=
0
x
0
+
x
0
=
S
<
0
x
0
x
0
=
P
>
0
{\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S<0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Nhẩm nghiệm nhanh chóng
Khi
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
c
/
a
{\displaystyle x_{2}=c/a}
Khi
a
−
b
+
c
=
0
{\displaystyle a-b+c=0}
x
1
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=-1}
x
2
=
−
c
/
a
{\displaystyle x_{2}=-c/a}
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu hàm số
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
Nếu hàm số
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
0
)
2
{\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}
Áp dụng trong phương trình bậc ba
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
Nhẩm nghiệm nhanh:
Khi
a
+
b
+
c
+
d
=
0
{\displaystyle a+b+c+d=0}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
Khi
a
−
b
+
c
−
d
=
0
{\displaystyle a-b+c-d=0}
x
1
=
−
1
{\displaystyle x_{1}=-1}
