Đạo hàm

Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - x_o càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)

Ký hiệu

Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau

Ký hiệu Chuẩn	Ký hiệu Leibitz
${\frac {d}{dx}}f(x)$	$f^{'}(x)$

Cong thức toán

Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Chứng minh

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-(x)$

Biến số hàm số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}$

Tổng biến số hàm số

$\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Giới hạn tổng biến số hàm số

$\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Đạo hàm hàm số

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Thí dụ toán đạo hàm

Hàm số , f(x)	Đạo hàm hàm số f'(x)	Giá trị
Đạo hàm hằng số	${\frac {d}{dx}}c$	$0$
Đạo hàm tích hằng số với biến số	${\frac {d}{dx}}cx$	$c$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}cx^{n}$	$cnx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa x	${\frac {d}{dx}}x^{n}$	$nx^{n-1}$
Đạo hàm lũy thừa e	${\frac {d}{dx}}e^{x}$	${\frac {d}{dx}}e^{x}$
Đạo hàm lũy thừa n	${\frac {d}{dx}}n^{x}$	${\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn$
Đạo hàm Ln	${\frac {d}{dx}}Lnx$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}$
	$\cos x$	$-\sin x$
	$\sin x$	$\cos x$
	$\tan x$	$\sec ^{2}x$
	$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
	$\sec x$	$\sec x\tan x$
	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
	$\cos ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sin ^{-1}x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\tan ^{-1}x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
	$\cot ^{-1}x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\sec ^{-1}x$	${\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\csc ^{-1}x$	$-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	$\sinh x$	$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
	$\cosh x$	$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
	$\tanh x$	${\operatorname {sech} ^{2}\,x}$
	$\operatorname {sech} \,x$	$-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$
	$\operatorname {csch} \,x$	$-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$
	$\operatorname {coth} \,x$	$-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$
	$\operatorname {arsinh} \,x$	${1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
	$\operatorname {arcosh} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
	$\operatorname {artanh} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$
	$\operatorname {arsech} \,x$	$-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcsch} \,x$	$-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
	$\operatorname {arcoth} \,x$	${1 \over 1-x^{2}}$

Phép toán đạo hàm

Phép toán đạo hàm	Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số	$(f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm hiệu 2 hàm số	$(f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}$	${\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm tích 2 hàm số	$(fg)'=f'g+fg'.\,$	${\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)$
Đạo hàm thương 2 hàm số	$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$	${\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}$
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số	$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$
Đạo hàm Ln	$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$	${\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}$
Đạo hàm hàm số phức	$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,$
Đạo hàm hàm số nghịch	$({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,$	${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)$
Đạo hàm hàm số ngược	$g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,$
Đạo hàm hàm số kép	${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$	${\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}$

Hoán chuyển đạo hàm

Hoán chuyển đạo hàm được dùng trong việc giải phương trình đạo hàm

Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau

Hoán chuyển	Ký hiệu	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
Đạo hàm	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
Toán Đạo hàm hàm số	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Ứng dụng toán đạo hàm

Lực

$F=ma=m{\frac {d}{dt}}v((t)={\frac {d}{dt}}p(t)=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Chuyển động cong

Chuyển động cong v(t) , s(t) có gia tốc

$a={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Động lượng

$F={\frac {d}{dt}}p(t)$

Phương trình và hàm số suy giảm

Phương trình suy giảm có dạng tổng quát

$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$

Phương trình sóng sin

Phương trình sóng sin với n ≥ 2 có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$

Phương trình sóng sin không đều có dạng tổng quát

$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$