Đại số/Phương trình đại số/Giải Định lý Viète

Định lý Viète

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Phương trình bậc hai

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình

$ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0$

thì

${\begin{cases}{x_{1}x_{2}=c/a}\\{x_{1}+x_{2}=-b/a}\\\end{cases}}$

Phương trình đa thức bất kỳ

Cho phương trình:

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0$

Cho x₁, x₂, ..., x_n là n nghiệm của phương trình trên, thì:

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,$

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

${\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}$

và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là $a_{n-k}\,$ còn vế trái được tính như sau:

• $(-1)^{n-k}a\,$

nhân với

• Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên.

Trường hợp phương trình bậc 2 là các công thức trên, với hai vế chia đều cho a = a₂

Thí dụ phương trình bậc 3

Nếu x₁, x₂, x₃ là nghiệm của phương trình

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a₃ tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

${\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}$

Thí dụ phương trình bậc 4

Nếu x₁, x₂, x₃, x₄ là nghiệm của phương trình

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,$

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a₄ tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

${\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-d/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=e/a}\\\end{cases}}$

Áp dụng

• Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình. Thí dụ: Có thể nhẩm tính phương trình x² - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2$.\,$3 = 6.
• Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympiad toán học.