Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Chuổi Số
sửa
Tích Phân
sửa
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
arcsin
(
x
)
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1}
arccos
(
x
)
=
∫
x
1
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1}
arctan
(
x
)
=
∫
0
x
1
1
+
z
2
d
z
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle \arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R} }
arccot
(
x
)
=
∫
x
∞
1
z
2
+
1
d
z
,
z
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0}
arcsec
(
x
)
=
∫
x
1
1
|
z
|
z
2
−
1
d
z
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}
arccsc
(
x
)
=
∫
x
∞
−
1
|
z
|
z
2
−
1
d
z
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}
Số Phức
sửa